問題は、与えられた数の大小関係を不等号「<」を用いて表すことです。 (1) $(\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{4}}$, $(\frac{1}{2})^0$ の大小関係を求める。 (2) $\sqrt[2]{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{27}$ の大小関係を求める。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数の大小関係を不等号「<」を用いて表すことです。

(1) $(\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{4}}$, $(\frac{1}{2})^0$ の大小関係を求める。

(2) $\sqrt[2]{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{27}$ の大小関係を求める。

2. 解き方の手順

(1)

指数関数の大小関係を比較します。底が $\frac{1}{2}$ であり、$0 < \frac{1}{2} < 1$ なので、指数が大きいほど値は小さくなります。

まず、指数の $\frac{4}{3}$, $\frac{5}{4}$, $0$ を比較するために、分母を揃えます。分母の最小公倍数は12なので、

$\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$

$\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$

$0 = 0$

よって、$\frac{16}{12} > \frac{15}{12} > 0$。

底が1より小さいので、指数の大小関係と、関数の値の大小関係は逆になります。

(2)

与えられた数をすべて3の累乗の形で表します。

$\sqrt[2]{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} = (3^{-1})^{\frac{1}{2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$

次に、指数 $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{4}$ を比較するために、分母を揃えます。分母の最小公倍数は12なので、

$-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}$

$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

よって、$-\frac{6}{12} < \frac{4}{12} < \frac{9}{12}$ つまり、$-\frac{1}{2} < \frac{1}{3} < \frac{3}{4}$

底が3であり、$3>1$なので、指数の大小関係と、関数の値の大小関係は一致します。

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{1}{2})^0 < (\frac{1}{2})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}$

(2) $\sqrt[2]{\frac{1}{3}} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{27}$