$g(x) = -x + 1$ とする。$(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす 1 次関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$g(x) = -x + 1$ とする。$(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす 1 次関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を 1 次関数なので、$f(x) = ax + b$ とおく。

まず、$(f \circ f)(x) = x$ より、$f(f(x)) = x$。

$f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b = x$

したがって、$a^2 = 1$ かつ $ab + b = 0$

$a^2 = 1$ より、$a = 1$ または $a = -1$。

(i) $a = 1$ のとき、$b + b = 0$ より、$2b = 0$ なので、$b = 0$。

このとき、$f(x) = x$。

(ii) $a = -1$ のとき、$-b + b = 0$ であり、これは任意の $b$ で成立する。

このとき、$f(x) = -x + b$。

次に、$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を確認する。

(i) $f(x) = x$ のとき、

$f(g(x)) = g(x) = -x + 1$

$g(f(x)) = g(x) = -x + 1$

したがって、$f(x) = x$ は条件を満たす。

(ii) $f(x) = -x + b$ のとき、

$f(g(x)) = -(-x + 1) + b = x - 1 + b$

$g(f(x)) = -(-x + b) + 1 = x - b + 1$

$f(g(x)) = g(f(x))$ より、$x - 1 + b = x - b + 1$。

したがって、$-1 + b = -b + 1$。

$2b = 2$ より、$b = 1$。

このとき、$f(x) = -x + 1$。

したがって、$f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$。

3. 最終的な答え

$f(x) = x, f(x) = -x + 1$