関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ において、$-1 \le x \le 3$ の範囲での最大値が $11$、最小値が $-7$ である。ただし、$a>0$ とする。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ において、$-1 \le x \le 3$ の範囲での最大値が $11$、最小値が $-7$ である。ただし、$a>0$ とする。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x-2)^2 - 4a + b$

この関数の軸は $x=2$ であり、$a>0$ より下に凸の放物線である。定義域は $-1 \le x \le 3$ であるので、軸は定義域に含まれる。

最小値は軸 $x=2$ でとるから、

$-4a + b = -7$ (1)

最大値は、軸から遠い方の端点、つまり $x=-1$ でとる。

$y(-1) = a(-1)^2 - 4a(-1) + b = a + 4a + b = 5a + b = 11$ (2)

(2) - (1)より

$5a + b - (-4a + b) = 11 - (-7)$

$9a = 18$

$a = 2$

(1)に代入して

$-4(2) + b = -7$

$-8 + b = -7$

$b = 1$

したがって、$a=2, b=1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 1$