2つの関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ax + b$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ax + b$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

合成関数 $(g \circ f)(x)$ を計算します。これは $g(f(x))$ を意味します。

$f(x) = 2x - 1$ なので、$g(f(x)) = g(2x - 1)$ となります。

$g(x) = ax + b$ なので、$g(2x - 1) = a(2x - 1) + b$ となります。

したがって、$(g \circ f)(x) = a(2x - 1) + b = 2ax - a + b$ となります。

問題文より、$(g \circ f)(x) = 4x + 5$ であるため、$2ax - a + b = 4x + 5$ が成り立ちます。

この等式が全ての $x$ について成り立つためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、以下の2つの等式が得られます。

$2a = 4$

$-a + b = 5$

最初の式 $2a = 4$ から、$a = 2$ が得られます。

この値を2番目の式 $-a + b = 5$ に代入すると、$-2 + b = 5$ となり、$b = 7$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 7$