$x, y$ が4つの不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $y \leq x + 3$, $y \leq -2x + 12$ を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ が4つの不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $y \leq x + 3$, $y \leq -2x + 12$ を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域をグラフに図示します。

* $x \geq 0$ は $y$ 軸より右側の領域を表します。

* $y \geq 0$ は $x$ 軸より上側の領域を表します。

* $y \leq x + 3$ は直線 $y = x + 3$ より下側の領域を表します。

* $y \leq -2x + 12$ は直線 $y = -2x + 12$ より下側の領域を表します。

これらの不等式を全て満たす領域は、四つの直線で囲まれた領域（四角形）となります。この領域の頂点を求めます。

* $y = x + 3$ と $y = -2x + 12$ の交点を求めます。

$x + 3 = -2x + 12$ を解くと $3x = 9$ より $x = 3$ となり、$y = 3 + 3 = 6$ となります。交点は $(3, 6)$ です。

* $y = x + 3$ と $x = 0$ の交点は、 $y = 0 + 3 = 3$ より $(0, 3)$ です。

* $y = -2x + 12$ と $x = 0$ の交点は、$y = -2(0) + 12 = 12$ より $(0, 12)$ です。しかし、$y \leq x + 3$ を満たさないので、これは領域の頂点ではありません。$x=0$と$y=0$との交点は$(0,0)$です。

* $y = -2x + 12$ と $y = 0$ の交点は、$0 = -2x + 12$ を解くと $2x = 12$ より $x = 6$ となり、$(6, 0)$ です。

* $y = x + 3$ と $y = 0$ の交点は、$0 = x + 3$ を解くと $x = -3$ となり $(-3, 0)$です。しかし、$x \geq 0$を満たさないので、これは領域の頂点ではありません。

したがって、領域の頂点は $(0, 0)$, $(0, 3)$, $(3, 6)$, $(6, 0)$ です。

次に、$f(x, y) = x + y$ とおき、各頂点での値を計算します。

* $f(0, 0) = 0 + 0 = 0$

* $f(0, 3) = 0 + 3 = 3$

* $f(3, 6) = 3 + 6 = 9$

* $f(6, 0) = 6 + 0 = 6$

これらの値の中で、最大値は 9、最小値は 0 です。

3. 最終的な答え

最大値: 9

最小値: 0