$x, y$ が不等式 $x^2 + y^2 \le 4$ と $y \ge 2 - x$ を満たすとき、$x + 2y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y$ が不等式 $x^2 + y^2 \le 4$ と $y \ge 2 - x$ を満たすとき、$x + 2y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式が表す領域を図示します。

$x^2 + y^2 \le 4$ は、中心が原点 $(0, 0)$、半径が $2$ の円の内部（境界を含む）を表します。

$y \ge 2 - x$ は、直線 $y = 2 - x$ の上側の領域（境界を含む）を表します。

したがって、求める領域は、これらの共通部分になります。

次に、$x + 2y = k$ とおきます。これは傾きが $-\frac{1}{2}$、y切片が $\frac{k}{2}$ の直線を表します。

この直線が上記の領域と共有点を持つような $k$ の最大値と最小値を求めれば、$x + 2y$ の最大値と最小値が得られます。

$k$ を最大にするには、直線 $x + 2y = k$ が領域の上端と接するようにします。

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $x + 2y = k$ が接するときの $k$ を求めます。

直線 $x + 2y = k$ を $x = k - 2y$ と変形し、円の式に代入すると、

$(k - 2y)^2 + y^2 = 4$

$k^2 - 4ky + 4y^2 + y^2 = 4$

$5y^2 - 4ky + k^2 - 4 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、円と直線が接します。判別式を $D$ とすると、

$D = (-4k)^2 - 4(5)(k^2 - 4) = 16k^2 - 20k^2 + 80 = -4k^2 + 80 = 0$

$4k^2 = 80$

$k^2 = 20$

$k = \pm 2\sqrt{5}$

$k$ が最大となるのは $k = 2\sqrt{5}$ のときです。

$k$ を最小にするには、直線 $y = 2 - x$ と $x+2y = k$ が接するときを考えることになります。

交点を考えると、$y=2-x$を$x+2y=k$に代入して、$x+2(2-x)=k$, $x+4-2x=k$, $-x=k-4$, $x=4-k$.

$y=2-(4-k)=k-2$.

$(4-k)^2+(k-2)^2 \le 4$

$16-8k+k^2+k^2-4k+4 \le 4$

$2k^2-12k+16 \le 4$

$2k^2-12k+12 \le 0$

$k^2-6k+6 \le 0$

$3-\sqrt{3} \le k \le 3+\sqrt{3}$

一方、$x+2y=k$が直線$y=2-x$上にあるとき、領域内である最小の値は、$x+2y=k$が点$(2,0)$を通るときで、$k=2$となる。

$x=0, y=2$のとき、$k=0+2*2=4$.

$x=-2, y=0$のとき、$k=-2$.

$y=2-x$と$x^2+y^2=4$の交点。

$x^2+(2-x)^2=4$

$x^2+4-4x+x^2=4$

$2x^2-4x=0$

$2x(x-2)=0$

$x=0,2$. $x=0$のとき$y=2$, $x=2$のとき$y=0$.

直線 $x + 2y = k$ が点 $(-2, 0)$ を通るとき、$k = -2 + 2(0) = -2$ となり、$x + 2y$ は最小値 $-2$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値：$2\sqrt{5}$

最小値：$-2$