与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1 \cdot N + 2 \cdot (N-1) + 3 \cdot (N-2) + \dots + N \cdot 1$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1 \cdot N + 2 \cdot (N-1) + 3 \cdot (N-2) + \dots + N \cdot 1$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求めます。k番目の項は $k(N - k + 1)$ と表されます。したがって、求める和は以下のようになります。

$\sum_{k=1}^{N} k(N - k + 1) = \sum_{k=1}^{N} (kN - k^2 + k)$

和の記号を展開すると、

$\sum_{k=1}^{N} kN - \sum_{k=1}^{N} k^2 + \sum_{k=1}^{N} k = N \sum_{k=1}^{N} k - \sum_{k=1}^{N} k^2 + \sum_{k=1}^{N} k$

$\sum_{k=1}^{N} k$ と $\sum_{k=1}^{N} k^2$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{N} k = \frac{N(N+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

これらの結果を元の式に代入します。

$N \frac{N(N+1)}{2} - \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + \frac{N(N+1)}{2} = \frac{N^2(N+1)}{2} - \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + \frac{N(N+1)}{2}$

共通因数 $\frac{N(N+1)}{2}$ でくくります。

$\frac{N(N+1)}{2} \left( N - \frac{2N+1}{3} + 1 \right) = \frac{N(N+1)}{2} \left( \frac{3N - 2N - 1 + 3}{3} \right) = \frac{N(N+1)}{2} \left( \frac{N+2}{3} \right)$

したがって、

$\frac{N(N+1)(N+2)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{N(N+1)(N+2)}{6}$