$x, y$ が次の4つの不等式を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。 $x \geq 0$ $y \geq 0$ $x + 2y - 8 \leq 0$ $0.2x + y - 10 \leq 0$

1. 問題の内容

$x, y$ が次の4つの不等式を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。

$x \geq 0$

$y \geq 0$

$x + 2y - 8 \leq 0$

$0.2x + y - 10 \leq 0$

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理する。

$x \geq 0$

$y \geq 0$

$x + 2y \leq 8$

$0.2x + y \leq 10$ -> $x + 5y \leq 50$

次に、これらの不等式を満たす領域を図示する。

$x \geq 0$, $y \geq 0$ なので、第一象限の領域。

$x + 2y = 8$ は $(8,0)$ と $(0,4)$ を通る直線。

$x + 5y = 50$ は $(50,0)$ と $(0,10)$ を通る直線。

2つの直線の交点を求める。

$x + 2y = 8$

$x + 5y = 50$

2式を引き算すると、$-3y = -42$ より $y = 14$。

$x = 8 - 2y = 8 - 2(14) = 8 - 28 = -20$。

しかし、これは第一象限に存在しないため、領域の交点は $x+2y=8$ と $x+5y=50$の交点ではない。

領域の頂点を求める。

(1) $(0,0)$: $x=0, y=0$

(2) $x=0$ と $x+2y=8$ の交点: $x=0, y=4$ -> $(0,4)$

(3) $x=0$ と $x+5y=50$ の交点: $x=0, y=10$

しかし、$x+2y \leq 8$の条件を満たさないため、$(0,10)$は領域に含まれない。

(4) $y=0$ と $x+2y=8$ の交点: $x=8, y=0$ -> $(8,0)$

(5) $y=0$ と $x+5y=50$ の交点: $x=50, y=0$

しかし、$x+2y \leq 8$の条件を満たさないため、$(50,0)$は領域に含まれない。

(6) $x+2y=8$ と $x+5y=50$ の交点:

上で計算した通り、$x=-20, y=14$ となる。これは $x \geq 0$ の条件を満たさないため、領域に含まれない。

正しい交点を求める：$x+2y=8$と$x+5y=50$の式を連立して解く

$x=8-2y$を$x+5y=50$に代入する: $8-2y+5y=50$, $3y=42$, $y=14$

よって、$x=8-2(14)=8-28=-20$

ただし、$x, y \geq 0$ より、この交点は領域に含まれない。

グラフを描いてみると、$x+2y=8$ と $x+5y=50$ の交点は第2象限にあることがわかる。

交点を正しく求めるには、$x+2y=8$ と $x+5y=50$ は連立方程式を解いた結果なので、条件を満たす領域は、x軸、y軸、$x+2y \le 8$ と $x+5y \le 50$ で囲まれた領域となる。

領域の頂点は $(0,0), (8,0), (0,4)$ と $x+2y=8$ と $x+5y=50$ の交点ではなく、$x+2y=8$と$x=0$の交点と$x+5y=50$と$y=0$の交点の間の領域であることに注意。

領域の頂点は、$x=0$と$y=0$，$x+2y=8$と$x+5y=50$、 $y=0$と$x+2y=8$,$x=0$と$x+5y=50$の交点となる。連立方程式を解く必要がありそう。

交点は次のとおり。

(0, 0)

(8, 0)

(0, 4)

2直線の交点は上ですでに確認済み。この交点は対象となる領域には含まれない。

$k = x+y$ とおくと、$y = -x + k$ という直線になる。この直線を動かして、領域と交点を持つような $k$ の最大値と最小値を求める。

$k$ が最小になるのは $(0,0)$ を通るときで、$k=0$。

$k$ が最大になるのは $(8,0)$ か $(0,4)$ を通るとき。

$(8,0)$ を通るとき、$k=8$。

$(0,4)$ を通るとき、$k=4$。

よって、最大値は8。

3. 最終的な答え

最大値: 8

最小値: 0