不等式 $(x + y - 3)(2x - y + 6) < 0$ の表す領域を図示し、境界線を含むかどうかを答えます。

## 問題11

1. 問題の内容

不等式 $(x + y - 3)(2x - y + 6) < 0$ の表す領域を図示し、境界線を含むかどうかを答えます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式は、2つの不等式 $x + y - 3 > 0$ かつ $2x - y + 6 < 0$、または $x + y - 3 < 0$ かつ $2x - y + 6 > 0$ のいずれかを満たす領域を表します。

* **ステップ1:** それぞれの不等式を $y$ について解きます。

* $x + y - 3 > 0$ より、 $y > -x + 3$

* $2x - y + 6 < 0$ より、$y > 2x + 6$

* $x + y - 3 < 0$ より、$y < -x + 3$

* $2x - y + 6 > 0$ より、$y < 2x + 6$

* **ステップ2:** 2つの直線 $y = -x + 3$ と $y = 2x + 6$ を描きます。

* $y = -x + 3$ は、傾き $-1$、切片 $3$ の直線です。

* $y = 2x + 6$ は、傾き $2$、切片 $6$ の直線です。

* **ステップ3:** それぞれの不等式が表す領域を考慮します。

* $y > -x + 3$ かつ $y < 2x + 6$ の領域は、直線 $y = -x + 3$ の上側かつ直線 $y = 2x + 6$ の下側です。

* $y < -x + 3$ かつ $y > 2x + 6$ の領域は、直線 $y = -x + 3$ の下側かつ直線 $y = 2x + 6$ の上側ですが、この領域は存在しません（2直線が交差するため）。

* **ステップ4:** 境界線を含むかどうかを判断します。

元の不等式は $(x + y - 3)(2x - y + 6) < 0$ であり、「<」を使用しているため、境界線は含みません。

3. 最終的な答え

領域は、直線 $y = -x + 3$ の上側かつ直線 $y = 2x + 6$ の下側です。境界線は含みません。

## 問題12

1. 問題の内容

4つの不等式 $2x + y \leq 6$, $x + 2y \leq 6$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ を同時に満たすとき、$2x + 3y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

* **ステップ1:** 不等式をグラフで表します。

* $2x + y \leq 6$ は、$y \leq -2x + 6$ となります。

* $x + 2y \leq 6$ は、$y \leq -\frac{1}{2}x + 3$ となります。

* $x \geq 0$ と $y \geq 0$ は、それぞれ $y$ 軸と $x$ 軸を表します。

これら4つの不等式が表す領域は、四角形となります。

* **ステップ2:** 四角形の頂点を求めます。

* $x = 0$ と $y = 0$ の交点は、$(0, 0)$ です。

* $x = 0$ と $x + 2y = 6$ の交点は、$(0, 3)$ です。

* $y = 0$ と $2x + y = 6$ の交点は、$(3, 0)$ です。

* $2x + y = 6$ と $x + 2y = 6$ の交点を求めます。

* $2x + y = 6$ より $y = 6 - 2x$

* $x + 2(6 - 2x) = 6$ より $x + 12 - 4x = 6$

* $-3x = -6$ より $x = 2$

* $y = 6 - 2(2) = 2$

したがって、交点は $(2, 2)$ です。

四角形の頂点は、$(0, 0)$, $(3, 0)$, $(2, 2)$, $(0, 3)$ です。

* **ステップ3:** 各頂点における $2x + 3y$ の値を計算します。

* $(0, 0)$: $2(0) + 3(0) = 0$

* $(3, 0)$: $2(3) + 3(0) = 6$

* $(2, 2)$: $2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$

* $(0, 3)$: $2(0) + 3(3) = 9$

* **ステップ4:** 最大値と最小値を決定します。

$2x + 3y$ の最大値は $10$、最小値は $0$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $10$

最小値: $0$