自然数の列を、1個、2個、4個、... と群に分けていく。 (1) 第$n$群の最初の自然数を求める。 (2) 500が第何群の第何項かを求める。 (3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、1個、2個、4個、... と群に分けていく。

(1) 第$n$群の最初の自然数を求める。

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の自然数を求める。

第$n$群に入る項数は$2^{n-1}$個である。

第$n$群の最初の数は、それまでの群の項数の合計+1である。

第$n$群の直前までの項数の合計は、初項1、公比2の等比数列の和で表せる。

$S_{n-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の数は、$2^{n-1}-1+1 = 2^{n-1}$

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

500が第$n$群に含まれるとすると、$2^{n-1} \leq 500 < 2^n$

$2^8 = 256$, $2^9 = 512$なので、$n=9$である。

第9群の最初の数は、$2^{9-1} = 2^8 = 256$

したがって、500は第9群に含まれる。

500は第9群の何番目かというと、$500-256+1 = 245$番目である。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

第$n$群の最初の数は、$2^{n-1}$

第$n$群の項数は、$2^{n-1}$

第$n$群の最後の数は、$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$

したがって、第$n$群の和は、初項$2^{n-1}$、末項$2^n - 1$、項数$2^{n-1}$の等差数列の和である。

$S_n = \frac{2^{n-1}}{2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

$S_n = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の自然数: $2^{n-1}$

(2) 500は第何群の第何項か: 第9群の第245項

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和: $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$