与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、固有値を求める。固有値$\lambda$は、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ の解である。ここで、$I$は単位行列である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(-\lambda) - (-1)(1) = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2$

したがって、特性方程式は$(\lambda - 1)^2 = 0$ となり、固有値は$\lambda = 1$ （重解）である。

次に、固有値$\lambda = 1$に対する固有ベクトルを求める。固有ベクトル$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$は、$(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$を満たす。

$(A - I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式は、$x - y = 0$ すなわち $x = y$ を意味する。したがって、固有ベクトルは$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$と表せる。$x$は任意のスカラーであり、$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 以外の任意のベクトルが固有ベクトルとなる。たとえば、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$が固有ベクトルである。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda = 1$

固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$（またはその定数倍）