与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられている場合。 (2) 通る3点の座標が与えられている場合。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられている場合。

(2) 通る3点の座標が与えられている場合。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が(1, -5)なので、2次関数は $y = a(x - 1)^2 - 5$ と表せる。

このグラフが点(2, -3)を通るので、x = 2, y = -3を代入すると、

$-3 = a(2 - 1)^2 - 5$

$-3 = a - 5$

$a = 2$

したがって、2次関数は $y = 2(x - 1)^2 - 5 = 2(x^2 - 2x + 1) - 5 = 2x^2 - 4x + 2 - 5 = 2x^2 - 4x - 3$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点(1, 3), (2, 1), (-1, -5)を通るので、それぞれの点を代入すると、

$3 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ (1)

$1 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$ (2)

$-5 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$ (3)

(2) - (1)より

$1 - 3 = (4a + 2b + c) - (a + b + c)$

$-2 = 3a + b$ (4)

(1) - (3)より

$3 - (-5) = (a + b + c) - (a - b + c)$

$8 = 2b$

$b = 4$

(4)にb = 4を代入して、

$-2 = 3a + 4$

$3a = -6$

$a = -2$

(1)にa = -2, b = 4を代入して、

$3 = -2 + 4 + c$

$3 = 2 + c$

$c = 1$

したがって、2次関数は $y = -2x^2 + 4x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 4x - 3$

(2) $y = -2x^2 + 4x + 1$