2次関数 $f(x) = x^2 - 2(3a^2 + 5a)x + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$ について、実数 $a$ が全体を動くとき、グラフの頂点の $y$ 座標の最小値を求めよ。また、関連するいくつかの小問に答える。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2(3a^2 + 5a)x + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$ について、実数 $a$ が全体を動くとき、グラフの頂点の $y$ 座標の最小値を求めよ。また、関連するいくつかの小問に答える。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

まず、$f(x)$ を平方完成する。

\begin{align*}

f(x) &= x^2 - 2(3a^2 + 5a)x + (3a^2 + 5a)^2 - (3a^2 + 5a)^2 + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16 \\

&= (x - (3a^2 + 5a))^2 - (9a^4 + 30a^3 + 25a^2) + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16 \\

&= (x - (3a^2 + 5a))^2 + 9a^4 + 24a^2 + 16

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $(3a^2 + 5a, 9a^4 + 24a^2 + 16)$ となる。

よって、ア=3、イ=5、ウ=9、エ=2、オ=4、カ=1、キ=6である。

(2) $t = a^2$ とおくと、頂点の $y$ 座標は $9t^2 + 24t + 16 = (3t + 4)^2$ となる。

したがって、頂点の $y$ 座標は $(3a^2 + 4)^2 \ge 0$ であり、最小値は $0$ である。

最小値をとるのは $3a^2 + 4 = 0$ のときだが、これは実数解を持たない。

$g(t) = (3t + 4)^2$ を $t \ge 0$ で最小化することを考える。

$t=0$ のとき、$g(t) = 16$となる。$t$が大きくなると$g(t)$は大きくなる。

頂点の$y$座標は $y = 9a^4 + 24a^2 + 16 = (3a^2)^2 + 2 \cdot 3a^2 \cdot 4 + 4^2 = (3a^2 + 4)^2$

最小値は $a = 0$ のとき、$(3 \cdot 0 + 4)^2 = 4^2 = 16$

したがって、クケ=16であり、コ=0である。

太郎の下線部の発言は誤り。正しい最小値は16であり、そのときのaの値は0である。

(3) (i)

選択肢を吟味する。

ア: $y = -x^2 + 2a^2x - 4a^2 + 8$の頂点の$y$座標は$-(-(a^2)^2) - 4a^2 + 8 = a^4 - 4a^2 + 8$。これは$t = a^2$と置くと$t^2 - 4t + 8$となり、$t$の整式で表せる。

イ: $y = 2x^2 + 8ax + 5a^4 + 2a + 4$の頂点の$y$座標は$5a^4 + 2a + 4 - \frac{(8a)^2}{4 \times 2} = 5a^4 + 2a + 4 - 8a^2 = 5a^4 - 8a^2 + 2a + 4$。これは$t = a^2$と置いても$t$の整式にならない。

ウ: $y = x^2 - 2ax + 3a^4 - a^3 + 2$の頂点の$y$座標は$3a^4 - a^3 + 2 - a^2$。これも$t=a^2$では整式にならない。

エ: $y = x^2 - 2a^2x - a^4 - a^2 - 3$の頂点の$y$座標は$-a^4 - a^2 - 3 - (a^2)^2 = -2a^4 - a^2 - 3$。これは$t=a^2$では$-2t^2 - t - 3$となり、$t$の整式で表せる。

したがって、サ=0である。

(ii)

$y = -x^2 + 2a^2x - 4a^2 + 8$ について、$t = a^2$ とおくと、頂点の $y$ 座標は $t^2 - 4t + 8 = (t - 2)^2 + 4$ となる。

最小値は、$t = 2$ のときで、$4$ となる。

このとき、$a^2 = 2$ なので、$a = \pm \sqrt{2}$ となる。

したがって、シ=3である。

3. 最終的な答え

(1) ア=3、イ=5、ウ=9、エ=2、オ=4、カ=1、キ=6

(2) クケ=16、コ=0

(3) (i) サ=0、(ii) シ=3