与えられた多変数関数の極値を求める問題です。問題は４つの関数で構成されています。 (1) $f(x, y) = e^{5x+y}(2x+3y)$ (2) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}$ (3) $f(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (4) $f(x, y) = x^2 + 2x - xy^2 + y^2$

1. 問題の内容

与えられた多変数関数の極値を求める問題です。問題は４つの関数で構成されています。

(1) $f(x, y) = e^{5x+y}(2x+3y)$

(2) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}$

(3) $f(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

(4) $f(x, y) = x^2 + 2x - xy^2 + y^2$

2. 解き方の手順

極値を求める一般的な手順は以下の通りです。

(1) 偏微分を計算し、 $f_x = 0$ と $f_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める（停留点）。

(2) ヘッセ行列（または二階偏微分）を計算する。

(3) 停留点におけるヘッセ行列の行列式を評価し、極大値、極小値、または鞍点を判定する。

各関数について、具体的に計算を進めます。

(1) $f(x, y) = e^{5x+y}(2x+3y)$

$f_x = e^{5x+y}(2) + 5e^{5x+y}(2x+3y) = e^{5x+y}(2+10x+15y)$

$f_y = e^{5x+y}(3) + e^{5x+y}(2x+3y) = e^{5x+y}(3+2x+3y)$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解く。

$2+10x+15y = 0$

$3+2x+3y = 0$

連立方程式を解くと、$x = -1/4$、$y = -1/3$

よって停留点は$(-1/4, -1/3)$

$f_{xx} = e^{5x+y}(10) + 5e^{5x+y}(2+10x+15y) = e^{5x+y}(10 + 10+50x+75y) = e^{5x+y}(20+50x+75y)$

$f_{yy} = e^{5x+y}(3) + e^{5x+y}(3+2x+3y) = e^{5x+y}(6+2x+3y)$

$f_{xy} = e^{5x+y}(15) + 5e^{5x+y}(3+2x+3y) = e^{5x+y}(15+15+10x+15y) = e^{5x+y}(30+10x+15y)$

停留点における2階偏微分を計算すると、

$f_{xx}(-1/4, -1/3) = e^{-5/4 -1/3} (20 -50/4 - 75/3) = e^{-19/12} (20 - 25/2 - 25) = e^{-19/12} (20-12.5-25) = -17.5e^{-19/12}$

$f_{yy}(-1/4, -1/3) = e^{-19/12} (6 - 2/4 - 3/3) = e^{-19/12} (6 - 0.5 - 1) = 4.5e^{-19/12}$

$f_{xy}(-1/4, -1/3) = e^{-19/12} (30 - 10/4 - 15/3) = e^{-19/12} (30 - 2.5 - 5) = 22.5e^{-19/12}$

ヘッセ行列の行列式は、

$D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = (-17.5)(4.5) e^{-38/12} - (22.5)^2 e^{-38/12} = e^{-19/6} (-78.75 - 506.25) = -585e^{-19/6} < 0$

よって、停留点$(-1/4, -1/3)$は鞍点です。

(2) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}$

$f_x = -2xe^{-x^2-y^2}$

$f_y = -2ye^{-x^2-y^2}$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ より、 $x = 0$ かつ $y = 0$ 。よって停留点は $(0, 0)$。

$f_{xx} = -2e^{-x^2-y^2} + 4x^2e^{-x^2-y^2} = (4x^2-2)e^{-x^2-y^2}$

$f_{yy} = -2e^{-x^2-y^2} + 4y^2e^{-x^2-y^2} = (4y^2-2)e^{-x^2-y^2}$

$f_{xy} = 4xye^{-x^2-y^2}$

停留点における2階偏微分は、

$f_{xx}(0, 0) = -2$

$f_{yy}(0, 0) = -2$

$f_{xy}(0, 0) = 0$

ヘッセ行列の行列式は、

$D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0$

$f_{xx}(0, 0) = -2 < 0$ より、停留点 $(0, 0)$ で極大値をとり、$f(0, 0) = 1$。

(3) $f(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

$f_x = y - \frac{1}{x^2}$

$f_y = x - \frac{1}{y^2}$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ より、$y = \frac{1}{x^2}$ かつ $x = \frac{1}{y^2}$。

$x = \frac{1}{(1/x^2)^2} = x^4$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

$x = 0$ または $x = 1$。$x=0$は定義できないため、$x = 1$ となり、$y = 1$。

よって停留点は $(1, 1)$。

$f_{xx} = \frac{2}{x^3}$

$f_{yy} = \frac{2}{y^3}$

$f_{xy} = 1$

停留点における2階偏微分は、

$f_{xx}(1, 1) = 2$

$f_{yy}(1, 1) = 2$

$f_{xy}(1, 1) = 1$

ヘッセ行列の行列式は、

$D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = (2)(2) - 1^2 = 3 > 0$

$f_{xx}(1, 1) = 2 > 0$ より、停留点 $(1, 1)$ で極小値をとり、$f(1, 1) = 1 + 1 + 1 = 3$。

(4) $f(x, y) = x^2 + 2x - xy^2 + y^2$

$f_x = 2x + 2 - y^2$

$f_y = -2xy + 2y$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ より、$2x + 2 - y^2 = 0$ かつ $2y(1-x) = 0$。

$y = 0$ または $x = 1$。

$y = 0$ のとき、$2x + 2 = 0$ より $x = -1$。停留点は $(-1, 0)$。

$x = 1$ のとき、$2 + 2 - y^2 = 0$ より $y^2 = 4$、$y = \pm 2$。停留点は $(1, 2)$ と $(1, -2)$。

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = -2x + 2$

$f_{xy} = -2y$

停留点における2階偏微分は、

$(-1, 0)$ のとき、$f_{xx} = 2$, $f_{yy} = 4$, $f_{xy} = 0$

$(1, 2)$ のとき、$f_{xx} = 2$, $f_{yy} = 0$, $f_{xy} = -4$

$(1, -2)$ のとき、$f_{xx} = 2$, $f_{yy} = 0$, $f_{xy} = 4$

ヘッセ行列の行列式は、

$(-1, 0)$ のとき、$D = (2)(4) - 0^2 = 8 > 0$, $f_{xx} = 2 > 0$ より、極小値をとる。$f(-1, 0) = 1 - 2 = -1$。

$(1, 2)$ のとき、$D = (2)(0) - (-4)^2 = -16 < 0$ より、鞍点。

$(1, -2)$ のとき、$D = (2)(0) - (4)^2 = -16 < 0$ より、鞍点。

3. 最終的な答え

(1) 鞍点 $(-1/4, -1/3)$

(2) 極大値 $f(0, 0) = 1$

(3) 極小値 $f(1, 1) = 3$

(4) 極小値 $f(-1, 0) = -1$, 鞍点 $(1, 2)$ と $(1, -2)$