関数 $y = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4}$ の両辺の絶対値の自然対数をとり、微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4}$ の両辺の絶対値の自然対数をとり、微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、両辺の絶対値の自然対数をとる。

$\ln|y| = \ln \left|\frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4}\right|$

対数の性質を用いて、式を簡単にする。

$\ln|y| = \ln|(x+1)^3| - \ln|(3x-1)^2| - \ln|(2x+1)^4|$

$\ln|y| = 3\ln|x+1| - 2\ln|3x-1| - 4\ln|2x+1|$

次に、両辺を $x$ について微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3\frac{1}{x+1} - 2\frac{3}{3x-1} - 4\frac{2}{2x+1}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1}$

$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$\frac{dy}{dx} = y \left(\frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1}\right)$

$y$ の式を代入する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4} \left(\frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4} \left(\frac{3(3x-1)(2x+1) - 6(x+1)(2x+1) - 8(x+1)(3x-1)}{(x+1)(3x-1)(2x+1)}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(3x-1)^3(2x+1)^5} \left(3(6x^2 - x - 1) - 6(2x^2 + 3x + 1) - 8(3x^2 + 2x - 1)\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(3x-1)^3(2x+1)^5} \left(18x^2 - 3x - 3 - 12x^2 - 18x - 6 - 24x^2 - 16x + 8\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(3x-1)^3(2x+1)^5} \left(-18x^2 - 37x - 1\right)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{(x+1)^2(18x^2 + 37x + 1)}{(3x-1)^3(2x+1)^5}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{(x+1)^2(18x^2 + 37x + 1)}{(3x-1)^3(2x+1)^5}$