定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) = \frac{x}{x^3} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = \frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1$

次に、この式を積分します。

$\int (\frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1) dx = \int (x^{-2} + x - x^{-3} - 1) dx = -x^{-1} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-2}}{-2} - x + C = -\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$

ここで、積分範囲 $[-2, -1]$ で定積分を行います。

$\int_{-2}^{-1} (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx = [-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x]_{-2}^{-1}$

まず、$x=-1$ を代入します。

$-\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^2}{2} + \frac{1}{2(-1)^2} - (-1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 3$

次に、$x=-2$ を代入します。

$-\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^2}{2} + \frac{1}{2(-2)^2} - (-2) = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} + \frac{1}{8} + 2 = \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{8} + 2 = \frac{4}{8} + \frac{16}{8} + \frac{1}{8} + \frac{16}{8} = \frac{37}{8}$

したがって、定積分は

$3 - \frac{37}{8} = \frac{24}{8} - \frac{37}{8} = -\frac{13}{8}$

3. 最終的な答え

$-\frac{13}{8}$