問題は2つのパートに分かれています。 パート1は、与えられた関数を微分する問題です。特に、(4)では、パラメータ表示された関数に対して、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の式で表すことが求められています。 パート2は、与えられた不定積分を計算する問題です。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1は、与えられた関数を微分する問題です。特に、(4)では、パラメータ表示された関数に対して、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の式で表すことが求められています。

パート2は、与えられた不定積分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

パート1: 微分

(1) $y = \frac{x}{\log x}$

商の微分公式を使って微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}}$

$y = (x^2 + x + 1)^{-1/2}$ と書き換えて、合成関数の微分を使います。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2 + x + 1)^{-3/2}(2x + 1) = -\frac{2x + 1}{2(x^2 + x + 1)^{3/2}}$

(3) $y = x^2 \tan^{-1} x$

積の微分公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = (2x)(\tan^{-1} x) + (x^2)(\frac{1}{1 + x^2}) = 2x \tan^{-1} x + \frac{x^2}{1 + x^2}$

(4) $x = \frac{1}{\cos t}$, $y = \tan t$

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t)^{-1} = -(\cos t)^{-2}(-\sin t) = \frac{\sin t}{\cos^2 t}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\tan t) = \frac{1}{\cos^2 t}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1/\cos^2 t}{\sin t/\cos^2 t} = \frac{1}{\sin t}$

パート2: 不定積分

(1) $\int \frac{(x - 1)(x - 2)}{x^2} dx = \int \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2} dx = \int (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}) dx$

$= x - 3 \log |x| - \frac{2}{x} + C$

(2) $\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1) dx = \tan x - x + C$

(3) $\int x \sqrt{1 - x} dx$

$u = 1 - x$ と置換すると、$x = 1 - u$, $dx = -du$

$\int (1 - u) \sqrt{u} (-du) = -\int (u^{1/2} - u^{3/2}) du = -(\frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2}) + C = -\frac{2}{3}(1 - x)^{3/2} + \frac{2}{5}(1 - x)^{5/2} + C$

(4) $\int \log(x + 1) dx$

部分積分を使います。 $u = \log(x + 1)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x + 1} dx$, $v = x$

$\int \log(x + 1) dx = x \log(x + 1) - \int \frac{x}{x + 1} dx = x \log(x + 1) - \int (1 - \frac{1}{x + 1}) dx = x \log(x + 1) - x + \log |x + 1| + C$

3. 最終的な答え

パート1:

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + 1}{2(x^2 + x + 1)^{3/2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2x \tan^{-1} x + \frac{x^2}{1 + x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin t}$

パート2:

(1) $x - 3 \log |x| - \frac{2}{x} + C$

(2) $\tan x - x + C$

(3) $-\frac{2}{3}(1 - x)^{3/2} + \frac{2}{5}(1 - x)^{5/2} + C$

(4) $x \log(x + 1) - x + \log |x + 1| + C$