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定積分 $\int_{-2}^{-1} \frac{x-1}{x^3 + 1} dx$ を計算します。

解析学定積分部分分数分解積分計算発散
2025/7/7

1. 問題の内容

定積分 ∫−2−1x−1x3+1dx\int_{-2}^{-1} \frac{x-1}{x^3 + 1} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を因数分解します。
x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) なので、
x−1x3+1=x−1(x+1)(x2−x+1)\frac{x-1}{x^3+1} = \frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}
となります。部分分数分解を試みます。
x−1(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+1\frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}
両辺に (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x^2-x+1) を掛けると
x−1=A(x2−x+1)+(Bx+C)(x+1)x-1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)
x−1=Ax2−Ax+A+Bx2+Bx+Cx+Cx-1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C
x−1=(A+B)x2+(−A+B+C)x+(A+C)x-1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)
係数を比較すると、以下の連立方程式を得ます。
A+B=0A+B = 0
−A+B+C=1-A+B+C = 1
A+C=−1A+C = -1
最初の式より、B=−AB = -A
3番目の式より、C=−1−AC = -1-A
これらを2番目の式に代入すると、
−A−A−1−A=1-A - A -1 - A = 1
−3A=2-3A = 2
A=−23A = -\frac{2}{3}
したがって、B=23B = \frac{2}{3}, C=−1+23=−13C = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}
よって、
x−1x3+1=−23⋅1x+1+2x/3−1/3x2−x+1=−23⋅1x+1+13⋅2x−1x2−x+1\frac{x-1}{x^3+1} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x+1} + \frac{2x/3 - 1/3}{x^2-x+1} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2x-1}{x^2-x+1}
ここで、∫1x+1dx=ln⁡∣x+1∣\int \frac{1}{x+1}dx = \ln |x+1| であり、∫2x−1x2−x+1dx=ln⁡∣x2−x+1∣\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx = \ln |x^2-x+1| であるから、
∫x−1x3+1dx=−23ln⁡∣x+1∣+13ln⁡∣x2−x+1∣+C\int \frac{x-1}{x^3+1} dx = -\frac{2}{3} \ln |x+1| + \frac{1}{3} \ln |x^2-x+1| + C
∫−2−1x−1x3+1dx=[−23ln⁡∣x+1∣+13ln⁡∣x2−x+1∣]−2−1\int_{-2}^{-1} \frac{x-1}{x^3+1} dx = [-\frac{2}{3} \ln |x+1| + \frac{1}{3} \ln |x^2-x+1|]_{-2}^{-1}
=(−23ln⁡0+13ln⁡3)−(−23ln⁡1+13ln⁡7)= (-\frac{2}{3} \ln 0 + \frac{1}{3} \ln 3) - (-\frac{2}{3} \ln 1 + \frac{1}{3} \ln 7)
ln⁡0\ln 0 が定義できないので、不定形になる。
別の解法を試みる。
x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)
x−1x3+1=x−1(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+1\frac{x-1}{x^3+1} = \frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}
部分分数分解の計算は同じなので省略する。
∫−2−1x−1x3+1dx=∫−2−1(−23⋅1x+1+13⋅2x−1x2−x+1)dx\int_{-2}^{-1} \frac{x-1}{x^3+1} dx = \int_{-2}^{-1} (-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2x-1}{x^2-x+1}) dx
=[−23ln⁡∣x+1∣+13ln⁡∣x2−x+1∣]−2−1= [-\frac{2}{3} \ln |x+1| + \frac{1}{3} \ln |x^2-x+1|]_{-2}^{-1}
=lim⁡x→−1[−23ln⁡∣x+1∣+13ln⁡∣x2−x+1∣]−[−23ln⁡∣−1∣+13ln⁡∣4+2+1∣]= \lim_{x \to -1} [-\frac{2}{3} \ln |x+1| + \frac{1}{3} \ln |x^2-x+1|] - [-\frac{2}{3} \ln |-1| + \frac{1}{3} \ln |4+2+1|]
=lim⁡x→−1[−23ln⁡∣x+1∣+13ln⁡∣x2−x+1∣]−[0+13ln⁡7]= \lim_{x \to -1} [-\frac{2}{3} \ln |x+1| + \frac{1}{3} \ln |x^2-x+1|] - [0 + \frac{1}{3} \ln 7]
=lim⁡x→−1[−23ln⁡∣x+1∣+13ln⁡∣x2−x+1∣]−13ln⁡7= \lim_{x \to -1} [-\frac{2}{3} \ln |x+1| + \frac{1}{3} \ln |x^2-x+1|] - \frac{1}{3} \ln 7
x=−1x = -1 の近傍で x+1x+1 は 0 に近づくので、ln⁡∣x+1∣\ln |x+1| は −∞-\infty に発散し、−23ln⁡∣x+1∣-\frac{2}{3} \ln |x+1| は +∞+\infty に発散する。
したがって、この積分は発散する。

3. 最終的な答え

積分は発散する。

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