定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \, dt$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \, dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^2 t$ を半角の公式を使って変形します。

$$\sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$$

これを使って積分を計算します。

$$$$

\begin{aligned}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \, dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2t)}{2} \, dt \\

&= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(2t)) \, dt \\

&= \frac{1}{2} \left[ t - \frac{1}{2} \sin(2t) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\

&= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin(\pi) \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \sin(0) \right) \right] \\

&= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0 \right] \\

&= \frac{\pi}{4}

\end{aligned}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$