$a$ を正の定数とする。放物線 $y = ax^2$ の $0 \le x \le \sqrt{2}$ の範囲にある部分、x軸、及び直線 $x = \sqrt{2}$ で囲まれた図形を $D$ とする。 (1) $D$ の面積を求める。 (2) $D$ を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_x$ を求める。 (3) $D$ を $y$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_y$ を求める。 (4) $5V_x = V_y$ を満たす $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。放物線 $y = ax^2$ の $0 \le x \le \sqrt{2}$ の範囲にある部分、x軸、及び直線 $x = \sqrt{2}$ で囲まれた図形を $D$ とする。

(1) $D$ の面積を求める。

(2) $D$ を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_x$ を求める。

(3) $D$ を $y$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_y$ を求める。

(4) $5V_x = V_y$ を満たす $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 図形 $D$ の面積は、定積分を用いて計算できる。

$D = \int_{0}^{\sqrt{2}} ax^2 dx = a \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = a \frac{(\sqrt{2})^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} a$

よって、問1は2、問2は$\sqrt{2}$、問3は3。

(2) $D$ を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_x$ は、

$V_x = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} (ax^2)^2 dx = \pi a^2 \int_{0}^{\sqrt{2}} x^4 dx = \pi a^2 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = \pi a^2 \frac{(\sqrt{2})^5}{5} = \frac{4\sqrt{2}}{5} \pi a^2$

よって、問4は4、問5は$\sqrt{2}$、問6は5。

(3) $D$ を $y$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_y$ は、

$V_y = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} x (ax^2) dx = 2\pi a \int_{0}^{\sqrt{2}} x^3 dx = 2\pi a \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2\pi a \frac{(\sqrt{2})^4}{4} = 2\pi a \frac{4}{4} = 2\pi a$

よって、問7は2。

(4) $5V_x = V_y$ を満たす $a$ の値を求める。

$5 \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} \pi a^2 \right) = 2\pi a$

$4\sqrt{2} \pi a^2 = 2\pi a$

$2\sqrt{2} a^2 = a$

$a(2\sqrt{2} a - 1) = 0$

$a > 0$ より、 $2\sqrt{2} a = 1$

$a = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

よって、問8は$\sqrt{2}$、問9は4、問10は4。

3. 最終的な答え

1: 2

2: $\sqrt{2}$

3: 3

4: 4

5: $\sqrt{2}$

6: 5

7: 2

8: $\sqrt{2}$

9: 4

10: 4