与えられた6つの定積分を、指定された公式（13.1, 13.5, 19.1, 19.2）を用いて計算します。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた6つの定積分を、指定された公式（13.1, 13.5, 19.1, 19.2）を用いて計算します。

2. 解き方の手順

**(1) $\int_{-2}^{2} \frac{3}{x+4} dx$**

* 置換積分を行います。$u = x + 4$ とすると、$du = dx$ です。

* 積分範囲も変更します。$x = -2$ のとき $u = 2$、$x = 2$ のとき $u = 6$ となります。

* 積分は $\int_{2}^{6} \frac{3}{u} du$ となります。

* $\int \frac{1}{u} du = \ln |u|$ であることを利用します。

* $3 \int_{2}^{6} \frac{1}{u} du = 3[\ln |u|]_{2}^{6} = 3(\ln 6 - \ln 2) = 3 \ln (\frac{6}{2}) = 3 \ln 3$

**(2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{3x-6} dx$**

* 置換積分を行います。$u = 3x - 6$ とすると、$du = 3 dx$ より $dx = \frac{1}{3} du$ です。

* 積分範囲も変更します。$x = 0$ のとき $u = -6$、$x = 1$ のとき $u = -3$ となります。

* 積分は $\int_{-6}^{-3} \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{-6}^{-3} \frac{1}{u} du$ となります。

* $\frac{1}{3} \int_{-6}^{-3} \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} [\ln |u|]_{-6}^{-3} = \frac{1}{3} (\ln |-3| - \ln |-6|) = \frac{1}{3} (\ln 3 - \ln 6) = \frac{1}{3} \ln (\frac{3}{6}) = \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3} \ln 2$

**(3) $\int_{1}^{2} (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx$**

* 積分を分割します：$\int_{1}^{2} 3x^2 dx + \int_{1}^{2} \frac{5}{x} dx - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^3} dx$

* 各項を積分します。

* $\int 3x^2 dx = x^3$

* $\int \frac{5}{x} dx = 5 \ln |x|$

* $\int \frac{2}{x^3} dx = \int 2x^{-3} dx = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

* 積分範囲を適用します。

* $[x^3]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$

* $[5 \ln |x|]_{1}^{2} = 5(\ln 2 - \ln 1) = 5 \ln 2$

* $[-\frac{1}{x^2}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2^2} - (-\frac{1}{1^2}) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$

* 合計すると、$7 + 5 \ln 2 + \frac{3}{4} = \frac{31}{4} + 5 \ln 2$

**(4) $\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx$**

* 被積分関数を分割します：$\frac{x^3}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}$

* 積分を分割します：$\int_{1}^{3} x dx - \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx + \int_{1}^{3} \frac{2}{x^2} dx$

* 各項を積分します。

* $\int x dx = \frac{1}{2} x^2$

* $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x|$

* $\int \frac{2}{x^2} dx = \int 2x^{-2} dx = -2x^{-1} = -\frac{2}{x}$

* 積分範囲を適用します。

* $[\frac{1}{2}x^2]_{1}^{3} = \frac{1}{2}(3^2 - 1^2) = \frac{1}{2}(9-1) = 4$

* $[\ln |x|]_{1}^{3} = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$

* $[-\frac{2}{x}]_{1}^{3} = -\frac{2}{3} - (-\frac{2}{1}) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$

* 合計すると、$4 - \ln 3 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} - \ln 3$

**(5) $\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2+x} dx$**

* 分母を因数分解します：$x^2 + x = x(x+1)$

* 部分分数分解を行います：$\frac{x+2}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

* $x+2 = A(x+1) + Bx$ となります。

* $x = 0$ を代入すると、$2 = A$

* $x = -1$ を代入すると、$1 = -B$ より $B = -1$

* 積分は $\int_{-3}^{-2} (\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}) dx$ となります。

* 積分を分割します：$2 \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} dx - \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x+1} dx$

* 各項を積分します。

* $2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln |x|$

* $\int \frac{1}{x+1} dx = \ln |x+1|$

* 積分範囲を適用します。

* $[2 \ln |x|]_{-3}^{-2} = 2(\ln |-2| - \ln |-3|) = 2(\ln 2 - \ln 3) = 2 \ln (\frac{2}{3})$

* $[\ln |x+1|]_{-3}^{-2} = \ln |-2+1| - \ln |-3+1| = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2$

* 合計すると、$2 \ln (\frac{2}{3}) - (-\ln 2) = 2 \ln (\frac{2}{3}) + \ln 2 = \ln (\frac{4}{9}) + \ln 2 = \ln (\frac{8}{9})$

**(6) $\int_{-1}^{0} \frac{x+8}{x^2+x-2} dx$**

* 分母を因数分解します：$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

* 部分分数分解を行います：$\frac{x+8}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$

* $x+8 = A(x-1) + B(x+2)$ となります。

* $x = 1$ を代入すると、$9 = 3B$ より $B = 3$

* $x = -2$ を代入すると、$6 = -3A$ より $A = -2$

* 積分は $\int_{-1}^{0} (\frac{-2}{x+2} + \frac{3}{x-1}) dx$ となります。

* 積分を分割します：$-2 \int_{-1}^{0} \frac{1}{x+2} dx + 3 \int_{-1}^{0} \frac{1}{x-1} dx$

* 各項を積分します。

* $-2 \int \frac{1}{x+2} dx = -2 \ln |x+2|$

* $3 \int \frac{1}{x-1} dx = 3 \ln |x-1|$

* 積分範囲を適用します。

* $[-2 \ln |x+2|]_{-1}^{0} = -2(\ln |0+2| - \ln |-1+2|) = -2(\ln 2 - \ln 1) = -2 \ln 2$

* $[3 \ln |x-1|]_{-1}^{0} = 3(\ln |0-1| - \ln |-1-1|) = 3(\ln 1 - \ln 2) = 3(0 - \ln 2) = -3 \ln 2$

* 合計すると、$-2 \ln 2 - 3 \ln 2 = -5 \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $3 \ln 3$

(2) $-\frac{1}{3} \ln 2$

(3) $\frac{31}{4} + 5 \ln 2$

(4) $\frac{16}{3} - \ln 3$

(5) $\ln (\frac{8}{9})$

(6) $-5 \ln 2$