定積分 $\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2+x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2+x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x+2}{x^2+x} = \frac{x+2}{x(x+1)}$

とおきます。

$\frac{x+2}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $x(x+1)$ をかけると、

$x+2 = A(x+1) + Bx = (A+B)x + A$

係数を比較して、

$A+B=1$

$A=2$

したがって、 $B=1-A = 1-2 = -1$

よって、

$\frac{x+2}{x(x+1)} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}$

次に、積分を計算します。

$\int \frac{x+2}{x^2+x} dx = \int \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx = 2\int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx = 2\ln|x| - \ln|x+1| + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2+x} dx = \left[ 2\ln|x| - \ln|x+1| \right]_{-3}^{-2} = (2\ln|-2| - \ln|-2+1|) - (2\ln|-3| - \ln|-3+1|) = (2\ln2 - \ln1) - (2\ln3 - \ln2) = 2\ln2 - 0 - 2\ln3 + \ln2 = 3\ln2 - 2\ln3 = \ln2^3 - \ln3^2 = \ln8 - \ln9 = \ln\frac{8}{9}$

3. 最終的な答え

$\ln\frac{8}{9}$