右の図において、$\angle ADE = \angle ABC = 90^\circ$, $AE = 3$, $AD = 2$, $AC = 9$ である。 (1) $BE$ の長さを求めよ。 (2) $EC$ の長さを求めよ。 (3) $DB$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

右の図において、$\angle ADE = \angle ABC = 90^\circ$, $AE = 3$, $AD = 2$, $AC = 9$ である。

(1) $BE$ の長さを求めよ。

(2) $EC$ の長さを求めよ。

(3) $DB$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ADE$ と $\triangle ABC$ において、$\angle ADE = \angle ABC = 90^\circ$ であり、$\angle A$ は共通であるため、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ である。

したがって、$AD:AB = AE:AC$ が成り立つ。

$AD = 2$, $AE = 3$, $AC = 9$ であるから、$2:AB = 3:9$ より、$3AB = 18$。

よって、$AB = 6$ である。

次に、$\triangle ABE$ において、三平方の定理より、

$BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \times AB \times AE \times \cos A$

$\cos A = \frac{AD}{AE} = \frac{2}{3}$

$BE^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \times 6 \times 3 \times \frac{2}{3} = 36 + 9 - 24 = 21$

$BE = \sqrt{21}$

(2) $EC = AC - AE = 9 - 3 = 6$

(3) $DB = AB - AD = 6 - 2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $BE = \sqrt{21}$

(2) $EC = 6$

(3) $DB = 4$