$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2 + bx + 2} - 3x) = 2$ が与えられています。この式が成り立つように、$a$と$b$の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2 + bx + 2} - 3x) = 2$ が与えられています。この式が成り立つように、$a$と$b$の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$x$ が無限大に近づくときの極限を扱いやすい形にするために、式を変形します。$\sqrt{ax^2 + bx + 2} - 3x$ に $\sqrt{ax^2 + bx + 2} + 3x$ を掛けて割り、有理化します。

$\sqrt{ax^2 + bx + 2} - 3x = \frac{(\sqrt{ax^2 + bx + 2} - 3x)(\sqrt{ax^2 + bx + 2} + 3x)}{\sqrt{ax^2 + bx + 2} + 3x}$

$= \frac{(ax^2 + bx + 2) - (9x^2)}{\sqrt{ax^2 + bx + 2} + 3x}$

$= \frac{(a-9)x^2 + bx + 2}{\sqrt{ax^2 + bx + 2} + 3x}$

$a \neq 9$の場合、分子の次数が2なので、極限は発散します。よって、$a = 9$である必要があります。

$a = 9$のとき、

$\lim_{x \to \infty} \frac{bx + 2}{\sqrt{9x^2 + bx + 2} + 3x} = 2$

ここで、$x$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{b + \frac{2}{x}}{\sqrt{9 + \frac{b}{x} + \frac{2}{x^2}} + 3} = 2$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$、$\frac{b}{x} \to 0$、$\frac{2}{x^2} \to 0$なので、

$\frac{b}{\sqrt{9} + 3} = 2$

$\frac{b}{3 + 3} = 2$

$\frac{b}{6} = 2$

$b = 12$

よって、$a = 9$、$b = 12$です。

3. 最終的な答え

$a = 9$

$b = 12$