関数 $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ における値 $f'(1)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ における値 $f'(1)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分します。商の微分公式を使います。

商の微分公式は、 $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ のとき、

$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$ で表されます。

この問題では、$g(x) = 1-x$ 、 $h(x) = 1+x$ です。

したがって、$g'(x) = -1$ 、 $h'(x) = 1$ となります。

商の微分公式に当てはめると、

$f'(x) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2}$

$f'(x) = \frac{-1-x - 1+x}{(1+x)^2}$

$f'(x) = \frac{-2}{(1+x)^2}$

次に、$f'(1)$ を計算します。$f'(x)$ に $x=1$ を代入します。

$f'(1) = \frac{-2}{(1+1)^2} = \frac{-2}{2^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$f'(1) = -\frac{1}{2}$