自然数 $m$ に関する2つの条件 $p$：「$m$ は 5 の約数」と $q$：「$m$ は 15 の約数」について、以下の問いに答える問題です。 (1) 条件 $p$ を満たすもの全体の集合を $P$、条件 $q$ を満たすもの全体の集合を $Q$ とするとき、集合 $P$ と $Q$ を要素を書き並べて表す。 (2) 命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を、集合 $P$ と $Q$ を用いて説明する。

1. 問題の内容

自然数 $m$ に関する2つの条件 $p$：「$m$ は 5 の約数」と $q$：「$m$ は 15 の約数」について、以下の問いに答える問題です。

(1) 条件 $p$ を満たすもの全体の集合を $P$、条件 $q$ を満たすもの全体の集合を $Q$ とするとき、集合 $P$ と $Q$ を要素を書き並べて表す。

(2) 命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を、集合 $P$ と $Q$ を用いて説明する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、集合 $P$ を求める。条件 $p$ は「$m$ は 5 の約数」なので、$P$ は 5 の約数である自然数全体の集合である。5 の約数は 1 と 5 である。したがって、$P = \{1, 5\}$ となる。

次に、集合 $Q$ を求める。条件 $q$ は「$m$ は 15 の約数」なので、$Q$ は 15 の約数である自然数全体の集合である。15 の約数は 1, 3, 5, 15 である。したがって、$Q = \{1, 3, 5, 15\}$ となる。

(2)

命題 $p \Rightarrow q$ が真であるとは、$p$ を満たすものが常に $q$ を満たすことである。集合で考えると、$P \subset Q$ が成り立つ場合に命題 $p \Rightarrow q$ は真となる。

$P = \{1, 5\}$ であり、$Q = \{1, 3, 5, 15\}$ であるから、$P$ の要素は全て $Q$ に含まれている。つまり、$P \subset Q$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $P = \{1, 5\}$

$Q = \{1, 3, 5, 15\}$

(2) 命題 $p \Rightarrow q$ は真である。なぜなら、$P \subset Q$ が成り立つから。