与えられた分数の分母を有理化する問題です。 (2) $\frac{4}{\sqrt{18}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (5) $\frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{\sqrt{8}+\sqrt{3}}$ (6) $\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(2),(3),(5),(6)について解答します。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。

(2) $\frac{4}{\sqrt{18}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

(5) $\frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{\sqrt{8}+\sqrt{3}}$

(6) $\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(2) $\frac{4}{\sqrt{18}}$ の有理化

まず、$\sqrt{18}$を簡単にします。$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

したがって、$\frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{4}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{4\sqrt{2}}{6}$

約分して、$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の有理化

分母の共役な複素数$\sqrt{5}-\sqrt{3}$を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{\sqrt{8}+\sqrt{3}}$ の有理化

分母の共役な複素数$\sqrt{8}-\sqrt{3}$を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{\sqrt{8}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{8}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8 - 2\sqrt{8}\sqrt{3} + 3}{8-3} = \frac{11 - 2\sqrt{24}}{5}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ なので、

$\frac{11 - 2\sqrt{24}}{5} = \frac{11 - 4\sqrt{6}}{5}$

(6) $\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ の有理化

分母の共役な複素数$\sqrt{5}+\sqrt{2}$を分子と分母にかけます。

$\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{5}-5\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2 \times 5 + 2\sqrt{10} - 5\sqrt{10} - 5 \times 2}{5-2} = \frac{10 - 3\sqrt{10} - 10}{3} = \frac{-3\sqrt{10}}{3} = -\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{11 - 4\sqrt{6}}{5}$

(6) $-\sqrt{10}$