与えられた二次関数について、頂点の座標、軸の方程式、グラフが上に凸か下に凸かを求めよ。

1. 問題の内容

与えられた二次関数について、頂点の座標、軸の方程式、グラフが上に凸か下に凸かを求めよ。

2. 解き方の手順

二次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形（平方完成）に変形します。

このとき、

- 頂点の座標は $(p, q)$

- 軸の方程式は $x = p$

- $a > 0$ なら下に凸、$a < 0$ なら上に凸

です。

以下、各関数について計算します。

(1) $y = 3x^2 = 3(x-0)^2 + 0$

- 軸: $x = 0$

- 頂点: $(0, 0)$

- 凸: 下に凸

(2) $y = -2x^2 + 5 = -2(x-0)^2 + 5$

- 軸: $x = 0$

- 頂点: $(0, 5)$

- 凸: 上に凸

(3) $y = (x+2)^2 = (x-(-2))^2 + 0$

- 軸: $x = -2$

- 頂点: $(-2, 0)$

- 凸: 下に凸

(4) $y = 2(x-1)^2 + 3$

- 軸: $x = 1$

- 頂点: $(1, 3)$

- 凸: 下に凸

(5) $y = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 - 1 + 3 = (x-1)^2 + 2$

- 軸: $x = 1$

- 頂点: $(1, 2)$

- 凸: 下に凸

(6) $y = 2x^2 - 4x + 5 = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2((x-1)^2 - 1) + 5 = 2(x-1)^2 - 2 + 5 = 2(x-1)^2 + 3$

- 軸: $x = 1$

- 頂点: $(1, 3)$

- 凸: 下に凸

(7) $y = -x^2 + x + 5 = -(x^2 - x) + 5 = -((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 5 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 5 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{21}{4}$

- 軸: $x = \frac{1}{2}$

- 頂点: $(\frac{1}{2}, \frac{21}{4})$

- 凸: 上に凸

(8) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 3 = -\frac{1}{2}((x+2)^2 - 4) + 3 = -\frac{1}{2}(x+2)^2 + 2 + 3 = -\frac{1}{2}(x+2)^2 + 5$

- 軸: $x = -2$

- 頂点: $(-2, 5)$

- 凸: 上に凸

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 0$, 頂点: $(0, 0)$, 凸: 下に凸

(2) 軸: $x = 0$, 頂点: $(0, 5)$, 凸: 上に凸

(3) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, 0)$, 凸: 下に凸

(4) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 3)$, 凸: 下に凸

(5) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 2)$, 凸: 下に凸

(6) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 3)$, 凸: 下に凸

(7) 軸: $x = \frac{1}{2}$, 頂点: $(\frac{1}{2}, \frac{21}{4})$, 凸: 上に凸

(8) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, 5)$, 凸: 上に凸