$n$は自然数とする。命題「$n$は奇数 $\Rightarrow$ $n$は3の倍数」について、以下の問いに答える。 (1) 与えられた命題の真偽を判定し、偽の場合は反例を挙げる。 (2) 与えられた命題の逆を述べ、その真偽を判定し、偽の場合は反例を挙げる。

1. 問題の内容

$n$は自然数とする。命題「$n$は奇数 $\Rightarrow$ $n$は3の倍数」について、以下の問いに答える。

(1) 与えられた命題の真偽を判定し、偽の場合は反例を挙げる。

(2) 与えられた命題の逆を述べ、その真偽を判定し、偽の場合は反例を挙げる。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた命題「$n$は奇数 $\Rightarrow$ $n$は3の倍数」について考える。

$n$が奇数であるとき、$n$は必ずしも3の倍数とは限らない。例えば、$n=1$は奇数だが、3の倍数ではない。よって、この命題は偽である。

反例は、$n=1$である。

(2) 与えられた命題の逆を考える。

元の命題「$n$は奇数 $\Rightarrow$ $n$は3の倍数」の逆は、「$n$は3の倍数 $\Rightarrow$ $n$は奇数」である。

$n$が3の倍数であるとき、$n$は必ずしも奇数とは限らない。例えば、$n=6$は3の倍数だが、奇数ではない。よって、この命題は偽である。

反例は、$n=6$である。

3. 最終的な答え

(1) 偽、反例：$n=1$

(2) 逆：$n$は3の倍数 $\Rightarrow$ $n$は奇数、偽、反例：$n=6$