正八角形ABCDEFGHについて、以下のものの総数を求めます。 (1) 3つの頂点を結んでできる三角形の総数 (2) 3つの頂点を結んでできる三角形で、正八角形と辺を共有するものの総数 (3) 4つの頂点を結んでできる四角形で、正八角形と辺を共有するものの総数

1. 問題の内容

正八角形ABCDEFGHについて、以下のものの総数を求めます。

(1) 3つの頂点を結んでできる三角形の総数

(2) 3つの頂点を結んでできる三角形で、正八角形と辺を共有するものの総数

(3) 4つの頂点を結んでできる四角形で、正八角形と辺を共有するものの総数

2. 解き方の手順

(1) 3つの頂点を結んでできる三角形の総数

正八角形の8個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの記号を用いて ${}_8C_3$と表されます。

${}_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(2) 正八角形と1辺を共有する三角形の総数

正八角形の辺は8本あります。それぞれの辺に対して、もう一つの頂点を選びます。ただし、選んだ辺に隣接する頂点を選ぶと、正八角形と2辺を共有する三角形になってしまうので、隣接する頂点を除いた残りの5個の頂点から1つ選びます。したがって、$8 \times 5 = 40$となります。

ただし、正八角形と2辺を共有する三角形の総数は8個あるので、これらを除外しないといけません。正八角形と2辺を共有する三角形は、隣り合った2辺を選ぶことと同じであり、これは8通りです。

正八角形と少なくとも1辺を共有する三角形の総数は、$8 \times (8-4) = 8 \times 4 = 32$ となります。

より簡潔には、正八角形の各辺に対して、それ以外の頂点を選びます。ただし、選んだ辺の隣の頂点を選んでしまうと正八角形と2辺を共有することになるため、隣の頂点以外の5個の頂点から選ぶことになります。よって、$8 \times 5 = 40$。

(3) 正八角形と1辺を共有する四角形の総数

正八角形の辺は8本あります。それぞれの辺に対して、残りの6個の頂点から2個の頂点を選んで四角形を作ります。ただし、選んだ辺に隣接する頂点を選んでしまうと、正八角形と2辺を共有する四角形になる可能性があるため注意が必要です。

正八角形の1つの辺を選びます。残りの6つの頂点から2つを選ぶ組み合わせは${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通りです。しかし、選んだ辺に隣接する頂点を少なくとも1つ選んでしまうと、正八角形と隣接する辺を共有することになるので、それらを除きます。隣接する頂点の選び方は2通りあります。

選んだ辺の隣接する2頂点のうち、片方のみを選ぶ場合は、隣接しない4つの頂点から1つを選ぶことになり、これは$2 \times 4 = 8$通りあります。選んだ辺に隣接する2頂点を両方選んでしまう場合は、これはありえません。したがって、選んだ辺に対して、$15 - 8 = 7$通りあります。

よって、求める四角形の総数は$8 \times 7 = 56$となります。

3. 最終的な答え

(1) 56

(2) 40

(3) 56