地点Aから木の先端Pを見上げた角度が$\alpha$、地点Aから木に向かって$d$だけ近づいた地点BからPを見上げた角度が$\beta$である。木が立っている地点をHとするとき、木の高さPHを$\alpha, \beta, d$を用いて表す。花子さんは正弦定理を使い、太郎さんは直角三角形ΔPAH, ΔPBHに着目して解いた。それぞれの解法で木の高さPHを求める。

幾何学三角比正弦定理直角三角形角度高さ
2025/7/10

1. 問題の内容

地点Aから木の先端Pを見上げた角度がα\alpha、地点Aから木に向かってddだけ近づいた地点BからPを見上げた角度がβ\betaである。木が立っている地点をHとするとき、木の高さPHをα,β,d\alpha, \beta, dを用いて表す。花子さんは正弦定理を使い、太郎さんは直角三角形ΔPAH, ΔPBHに着目して解いた。それぞれの解法で木の高さPHを求める。

2. 解き方の手順

**花子さんの解法 (正弦定理)**
まず、三角形APB\triangle APBにおいて、APB=180β(180α)=αβ\angle APB = 180^\circ - \beta - (180^\circ - \alpha) = \alpha - \betaである。
正弦定理より、
ABsin(APB)=PBsin(PAB)\frac{AB}{\sin(\angle APB)} = \frac{PB}{\sin(\angle PAB)}
AB=d,APB=αβ,PAB=180αAB = d, \angle APB = \alpha - \beta, \angle PAB = 180^\circ - \alpha
なので、
dsin(αβ)=PBsin(180α)=PBsin(α)\frac{d}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{PB}{\sin(180^\circ - \alpha)} = \frac{PB}{\sin(\alpha)}
したがって、
PB=dsin(α)sin(αβ)PB = \frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\alpha - \beta)}
次に、直角三角形PBH\triangle PBHにおいて、
sin(β)=PHPB\sin(\beta) = \frac{PH}{PB}
したがって、
PH=PBsin(β)=dsin(α)sin(β)sin(αβ)PH = PB \sin(\beta) = \frac{d \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\alpha - \beta)}
**太郎さんの解法 (直角三角形)**
直角三角形PAH\triangle PAHにおいて、
tan(α)=PHAH\tan(\alpha) = \frac{PH}{AH}
したがって、
AH=PHtan(α)AH = \frac{PH}{\tan(\alpha)}
直角三角形PBH\triangle PBHにおいて、
tan(β)=PHBH\tan(\beta) = \frac{PH}{BH}
したがって、
BH=PHtan(β)BH = \frac{PH}{\tan(\beta)}
AH=AB+BHAH = AB + BHより、
PHtan(α)=d+PHtan(β)\frac{PH}{\tan(\alpha)} = d + \frac{PH}{\tan(\beta)}
PH(1tan(α)1tan(β))=dPH \left( \frac{1}{\tan(\alpha)} - \frac{1}{\tan(\beta)} \right) = d
PH(tan(β)tan(α)tan(α)tan(β))=dPH \left( \frac{\tan(\beta) - \tan(\alpha)}{\tan(\alpha) \tan(\beta)} \right) = d
PH=dtan(α)tan(β)tan(β)tan(α)PH = \frac{d \tan(\alpha) \tan(\beta)}{\tan(\beta) - \tan(\alpha)}
ここで、
tan(β)tan(α)=sin(β)cos(β)sin(α)cos(α)=sin(β)cos(α)sin(α)cos(β)cos(α)cos(β)=sin(βα)cos(α)cos(β)=sin(αβ)cos(α)cos(β)\tan(\beta) - \tan(\alpha) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\sin(\beta)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)} = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)} = \frac{-\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}
tan(α)tan(β)=sin(α)cos(α)sin(β)cos(β)=sin(α)sin(β)cos(α)cos(β)\tan(\alpha) \tan(\beta) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{\sin(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}
したがって、
PH=dsin(α)sin(β)cos(α)cos(β)sin(αβ)cos(α)cos(β)=dsin(α)sin(β)sin(αβ)=dsin(α)sin(β)sin(αβ)PH = \frac{d \frac{\sin(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}}{\frac{-\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}} = \frac{-d \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{d \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\alpha - \beta)}

3. 最終的な答え

花子さんの解法:PH=dsin(α)sin(β)sin(αβ)PH = \frac{d \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\alpha - \beta)}
太郎さんの解法:PH=dsin(α)sin(β)sin(αβ)PH = \frac{d \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\alpha - \beta)}

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