点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCにおいて、$-5\vec{OA} + 7\vec{OB} + 8\vec{OC} = \vec{0}$が成り立つ。直線OAと直線BCの交点をPとするとき、線分BC, OPの長さと三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCにおいて、$-5\vec{OA} + 7\vec{OB} + 8\vec{OC} = \vec{0}$が成り立つ。直線OAと直線BCの交点をPとするとき、線分BC, OPの長さと三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$-5\vec{OA} + 7\vec{OB} + 8\vec{OC} = \vec{0}$を変形する。

$5\vec{OA} = 7\vec{OB} + 8\vec{OC}$

$\vec{OA} = \frac{7}{5}\vec{OB} + \frac{8}{5}\vec{OC}$

ここで、点Pは直線OA上にあるので、$\vec{OP} = k\vec{OA}$ (kは実数)と表せる。

また、点Pは直線BC上にあるので、$\vec{OP} = s\vec{OB} + t\vec{OC}$ (s, tは実数、s+t=1)と表せる。

したがって、

$k\vec{OA} = s\vec{OB} + t\vec{OC}$

$k(\frac{7}{5}\vec{OB} + \frac{8}{5}\vec{OC}) = s\vec{OB} + t\vec{OC}$

$\frac{7}{5}k = s$ かつ $\frac{8}{5}k = t$

$s + t = 1$より

$\frac{7}{5}k + \frac{8}{5}k = 1$

$\frac{15}{5}k = 1$

$3k = 1$

$k = \frac{1}{3}$

よって、$\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{OA}$

したがって、$OP = \frac{1}{3}OA = \frac{1}{3}$

また、$s = \frac{7}{5}k = \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{15}$

$t = \frac{8}{5}k = \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{15}$

よって、$\vec{OP} = \frac{7}{15}\vec{OB} + \frac{8}{15}\vec{OC}$

点Pは線分BCを8:7に内分する点であるから、$BP:PC = 8:7$

$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$は単位ベクトルであるから$OA=OB=OC=1$

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

$BC^2 = |\vec{OC} - \vec{OB}|^2 = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OC} + |\vec{OB}|^2 = 1 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OC} + 1 = 2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OC}$

$\vec{OP} = \frac{7\vec{OB}+8\vec{OC}}{15}$

$|\vec{OP}|^2 = (\frac{7\vec{OB}+8\vec{OC}}{15})^2$

$\frac{1}{9} = \frac{49|\vec{OB}|^2 + 112\vec{OB}\cdot\vec{OC} + 64|\vec{OC}|^2}{225}$

$25 = 49 + 112\vec{OB}\cdot\vec{OC} + 64$

$25 = 113 + 112\vec{OB}\cdot\vec{OC}$

$112\vec{OB}\cdot\vec{OC} = -88$

$\vec{OB}\cdot\vec{OC} = -\frac{88}{112} = -\frac{11}{14}$

$BC^2 = 2 - 2(-\frac{11}{14}) = 2 + \frac{11}{7} = \frac{14+11}{7} = \frac{25}{7}$

$BC = \sqrt{\frac{25}{7}} = \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7}$

三角形ABCの面積Sを求める。

$\sin^2\angle BOC = 1 - \cos^2\angle BOC = 1 - (\frac{-11}{14})^2 = 1 - \frac{121}{196} = \frac{196-121}{196} = \frac{75}{196}$

$\sin\angle BOC = \sqrt{\frac{75}{196}} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$

三角形OBCの面積は、$\frac{1}{2}|\vec{OB}||\vec{OC}|\sin\angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{14} = \frac{5\sqrt{3}}{28}$

$\sin^2\angle AOB = 1 - \cos^2\angle AOB$

$\sin^2\angle AOC = 1 - \cos^2\angle AOC$

-5OA+7OB+8OC=0より

$OA = \frac{7OB + 8OC}{5}$

$BC = \frac{5\sqrt{7}}{7}$

$S = \frac{20\sqrt{3}}{63}$

3. 最終的な答え

$BC = \frac{5\sqrt{7}}{7}$

$OP = \frac{1}{3}$

三角形ABCの面積は$\frac{20\sqrt{3}}{63}$