9枚の異なるカードを、(ア) 2枚、3枚、4枚の3組に分ける分け方、(イ) 1枚、4枚、4枚の3組に分ける分け方、(ウ) 3枚ずつの3組に分ける分け方をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

9枚の異なるカードを、(ア) 2枚、3枚、4枚の3組に分ける分け方、(イ) 1枚、4枚、4枚の3組に分ける分け方、(ウ) 3枚ずつの3組に分ける分け方をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(ア) 2枚、3枚、4枚の3組に分ける場合：

まず9枚から2枚を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_2$ 通り。

次に残りの7枚から3枚を選ぶ組み合わせは ${}_7 C_3$ 通り。

最後に残りの4枚から4枚を選ぶ組み合わせは ${}_4 C_4 = 1$ 通り。

したがって、分け方は ${}_9 C_2 \times {}_7 C_3 \times {}_4 C_4$ 通り。

(イ) 1枚、4枚、4枚の3組に分ける場合：

まず9枚から1枚を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_1$ 通り。

次に残りの8枚から4枚を選ぶ組み合わせは ${}_8 C_4$ 通り。

最後に残りの4枚から4枚を選ぶ組み合わせは ${}_4 C_4 = 1$ 通り。

ただし、4枚の組が2つあるので、同じものを含む順列の考え方から2!で割る必要がある。

したがって、分け方は $\frac{{}_9 C_1 \times {}_8 C_4}{2!}$ 通り。

(ウ) 3枚ずつの3組に分ける場合：

まず9枚から3枚を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_3$ 通り。

次に残りの6枚から3枚を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_3$ 通り。

最後に残りの3枚から3枚を選ぶ組み合わせは ${}_3 C_3 = 1$ 通り。

ただし、3枚の組が3つあるので、同じものを含む順列の考え方から3!で割る必要がある。

したがって、分け方は $\frac{{}_9 C_3 \times {}_6 C_3}{3!}$ 通り。

計算を実行する：

${}_9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

${}_7 C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

${}_4 C_4 = 1$

(ア) $36 \times 35 \times 1 = 1260$

${}_9 C_1 = 9$

${}_8 C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(イ) $\frac{9 \times 70}{2} = \frac{630}{2} = 315$

${}_9 C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

${}_6 C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(ウ) $\frac{84 \times 20}{6} = \frac{1680}{6} = 280$

3. 最終的な答え

ア: 1260 通り

イ: 315 通り

ウ: 280 通り