(1) $x+y+z=9$ を満たす非負整数 $x, y, z$ の組の個数を求める。 (2) $x+y+z+w=18$ を満たす整数 $x, y, z, w$ で、$x \geq 8, y \geq 4, z \geq 2, w \geq 0$ を満たすものの組の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $x+y+z=9$ を満たす非負整数 $x, y, z$ の組の個数を求める。

(2) $x+y+z+w=18$ を満たす整数 $x, y, z, w$ で、$x \geq 8, y \geq 4, z \geq 2, w \geq 0$ を満たすものの組の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) これは重複組み合わせの問題である。

$x+y+z=9$ を満たす非負整数解の個数は、9個の○と2個の仕切りを並べる方法の数に等しい。

したがって、求める個数は $_{9+3-1}C_{3-1} = {}_{11}C_{2}$ となる。

${}_{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$

(2) まず、$x'=x-8, y'=y-4, z'=z-2$ とおくと、$x', y', z'$ は非負整数である。

元の式に代入すると、

$(x'+8)+(y'+4)+(z'+2)+w=18$

$x'+y'+z'+w=18-8-4-2=4$

$x'+y'+z'+w=4$

これを満たす非負整数 $x', y', z', w$ の組の個数を求める。

これは重複組み合わせの問題であり、4個の○と3個の仕切りを並べる方法の数に等しい。

したがって、求める個数は $_{4+4-1}C_{4-1} = {}_7C_3$ となる。

${}_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

3. 最終的な答え

(1) 55

(2) 35