次の極限値を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x}$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を用いることを考えます。まず、分子と分母がともに $x \to 0$ で $0$ に収束することを確認します。

分子: $\sin x - \sin(\sin x) \to \sin 0 - \sin(\sin 0) = 0 - \sin 0 = 0$

分母: $\sin x - x \to \sin 0 - 0 = 0 - 0 = 0$

よって、ロピタルの定理が適用できます。

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx} (\sin x - \sin(\sin x)) = \cos x - \cos(\sin x) \cos x = \cos x (1 - \cos(\sin x))$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx} (\sin x - x) = \cos x - 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1 - \cos(\sin x))}{\cos x - 1}$

再び、分子と分母がともに $x \to 0$ で $0$ に収束することを確認します。

分子: $\cos x (1 - \cos(\sin x)) \to \cos 0 (1 - \cos(\sin 0)) = 1 (1 - \cos 0) = 1(1 - 1) = 0$

分母: $\cos x - 1 \to \cos 0 - 1 = 1 - 1 = 0$

再びロピタルの定理が適用できます。

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx} (\cos x (1 - \cos(\sin x))) = -\sin x (1 - \cos(\sin x)) + \cos x (\sin(\sin x) \cos x) = -\sin x + \sin x \cos(\sin x) + \cos^2 x \sin(\sin x)$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx} (\cos x - 1) = -\sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1 - \cos(\sin x))}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + \sin x \cos(\sin x) + \cos^2 x \sin(\sin x)}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} (1 - \cos(\sin x) - \frac{\cos^2 x \sin(\sin x)}{\sin x})$

ここで、$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ なので、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = 1$。よって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\frac{\sin x}{x} = 1$.

$\lim_{x \to 0} (1 - \cos(\sin x) - \frac{\cos^2 x \sin(\sin x)}{\sin x}) = \lim_{x \to 0} (1 - \cos(\sin x) - \cos^2 x \frac{\sin(\sin x)}{x}\frac{x}{\sin x}) = 1 - \cos(0) - 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 1 - 1 = -1$

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x} = \frac{1}{2}$

別の解法として、$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$のテイラー展開を用いることを考えます。

$\sin(\sin x) = \sin x - \frac{\sin^3 x}{6} + O(\sin^5 x) = x - \frac{x^3}{6} - \frac{1}{6} (x - \frac{x^3}{6})^3 + O(x^5) = x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{6} + O(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

よって、$\sin x - \sin(\sin x) = (x - \frac{x^3}{6}) - (x - \frac{x^3}{3}) + O(x^5) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

また、$\sin x - x = x - \frac{x^3}{6} - x + O(x^5) = -\frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)} = -1$

3. 最終的な答え

-1