四面体OABCにおいて、辺OA, OB, OCをそれぞれ1:1, 3:1, 1:3に内分する点をD, E, Fとし、三角形DEFの重心をGとする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とし、点Pを$\vec{OP}=\frac{3\vec{b}-\vec{c}}{6}$で定める。 (1) $\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (2) 直線OGと平面ABCの交点をHとする。$\vec{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (3) 直線PGと平面OABの交点をIとする。$\vec{OI}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (4) 四面体IABHの体積は、四面体OABCの体積の何倍か求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OA, OB, OCをそれぞれ1:1, 3:1, 1:3に内分する点をD, E, Fとし、三角形DEFの重心をGとする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とし、点Pを$\vec{OP}=\frac{3\vec{b}-\vec{c}}{6}$で定める。

(1) $\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(2) 直線OGと平面ABCの交点をHとする。$\vec{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(3) 直線PGと平面OABの交点をIとする。$\vec{OI}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(4) 四面体IABHの体積は、四面体OABCの体積の何倍か求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点D, E, Fはそれぞれ辺OA, OB, OCを1:1, 3:1, 1:3に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}$, $\vec{OE} = \frac{3}{4}\vec{b}$, $\vec{OF} = \frac{1}{4}\vec{c}$

Gは三角形DEFの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF}}{3} = \frac{\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}}{3} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}$

(2) Hは直線OG上にあるので、実数$k$を用いて$\vec{OH} = k\vec{OG} = \frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{4}\vec{b} + \frac{k}{12}\vec{c}$と表せる。

また、Hは平面ABC上にあるので、実数$s, t$を用いて$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$と表せる。

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{a} + s(\vec{b}-\vec{a}) + t(\vec{c}-\vec{a}) = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

したがって、$\frac{k}{6} = 1-s-t$, $\frac{k}{4} = s$, $\frac{k}{12} = t$

$\frac{k}{6} = 1 - \frac{k}{4} - \frac{k}{12}$

$\frac{k}{6} = 1 - \frac{3k+k}{12} = 1 - \frac{4k}{12} = 1 - \frac{k}{3}$

$\frac{k}{6} + \frac{k}{3} = 1$

$\frac{k + 2k}{6} = 1$

$\frac{3k}{6} = 1$

$\frac{k}{2} = 1$

$k=2$

$\vec{OH} = \frac{2}{6}\vec{a} + \frac{2}{4}\vec{b} + \frac{2}{12}\vec{c} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

(3) Iは直線PG上にあるので、実数$l$を用いて$\vec{OI} = (1-l)\vec{OP} + l\vec{OG} = (1-l)\frac{3\vec{b}-\vec{c}}{6} + l(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}) = \frac{l}{6}\vec{a} + (\frac{3(1-l)}{6} + \frac{l}{4})\vec{b} + (-\frac{1-l}{6} + \frac{l}{12})\vec{c}$

また、Iは平面OAB上にあるので、$\vec{OI} = m\vec{a} + n\vec{b}$と表せる。

よって、$-\frac{1-l}{6} + \frac{l}{12} = 0$

$-\frac{2-2l}{12} + \frac{l}{12} = 0$

$-2+2l+l=0$

$3l = 2$

$l=\frac{2}{3}$

$\vec{OI} = \frac{2/3}{6}\vec{a} + (\frac{3(1-2/3)}{6} + \frac{2/3}{4})\vec{b} = \frac{1}{9}\vec{a} + (\frac{1}{6} + \frac{1}{6})\vec{b} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(4) 四面体OABCの体積をVとする。

四面体IABHの体積を$V_{IABH}$とする。

$\vec{OI} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$, $\vec{OH} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

$V_{IABH} = \frac{1}{6} |\vec{OI} \cdot (\vec{OA} \times \vec{OH})| = \frac{1}{6} |\begin{vmatrix} 1/9 & 1/3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/3 & 1/2 & 1/6 \end{vmatrix}| V$

$= \frac{1}{6} |1 \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} - 0)| V = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{18}V = \frac{1}{108} V$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OG} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}$

(2) $\vec{OH} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

(3) $\vec{OI} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(4) $\frac{1}{108}$倍