与えられた関数を微分する問題です。$a$は定数で、$a > 0$、$a \ne 1$とします。 (1) $y = a^{x^2 + 1}$ (2) $y = e^{-2x} \cos 2x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。$a$は定数で、$a > 0$、$a \ne 1$とします。

(1) $y = a^{x^2 + 1}$

(2) $y = e^{-2x} \cos 2x$

2. 解き方の手順

(1) $y = a^{x^2 + 1}$ の微分

まず、合成関数の微分を行います。

$y = a^u$ とおくと、$u = x^2 + 1$です。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = a^u \ln a$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$y' = a^u \ln a \cdot 2x = a^{x^2 + 1} \ln a \cdot 2x = 2x a^{x^2 + 1} \ln a$

(2) $y = e^{-2x} \cos 2x$ の微分

積の微分法と合成関数の微分法を用います。

$y = uv$ とおくと、$u = e^{-2x}$、$v = \cos 2x$です。

$y' = u'v + uv'$

$u' = -2e^{-2x}$

$v' = -2\sin 2x$

したがって、

$y' = -2e^{-2x} \cos 2x + e^{-2x} (-2\sin 2x) = -2e^{-2x} \cos 2x - 2e^{-2x} \sin 2x = -2e^{-2x} (\cos 2x + \sin 2x)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2x a^{x^2 + 1} \ln a$

(2) $y' = -2e^{-2x} (\cos 2x + \sin 2x)$