与えられた6つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$ (2) $\int \frac{1}{\tan x} dx$ (3) $\int \frac{e^x}{e^x-1} dx$ (4) $\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ (5) $\int \frac{\log x}{x} dx$ (6) $\int x^2 e^{x^3} dx$

分かりました。画像にある積分問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$

(2) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

(3) $\int \frac{e^x}{e^x-1} dx$

(4) $\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

(5) $\int \frac{\log x}{x} dx$

(6) $\int x^2 e^{x^3} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$

$u = x^2 + x + 1$ と置換すると、$du = (2x+1)dx$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |x^2+x+1| + C$ となります。$x^2+x+1$ は常に正なので、絶対値をはずせます。

(2) $\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\sin x| + C$ となります。

(3) $\int \frac{e^x}{e^x-1} dx$

$u = e^x - 1$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |e^x-1| + C$ となります。

(4) $\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

$u = 1 + \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{-1}{u} du = -\log |u| + C = -\log |1 + \cos x| + C$ となります。

$1+\cos x \geq 0$ なので、$|1+\cos x| = 1 + \cos x$

(5) $\int \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、積分は

$\int u du = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$ となります。

(6) $\int x^2 e^{x^3} dx$

$u = x^3$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{1}{3} e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\log(x^2+x+1) + C$

(2) $\log |\sin x| + C$

(3) $\log |e^x-1| + C$

(4) $-\log (1 + \cos x) + C$

(5) $\frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

(6) $\frac{1}{3} e^{x^3} + C$