与えられた3つの関数について、指定された点における微分係数を求めます。 (1) $f(x) = 2x^3 - x^2 - x + 5$ の $x = -1$ における微分係数 (2) $f(x) = (x^2 - 5x + 3)(x^3 - 4x^2 + 2)$ の $x = 1$ における微分係数 (3) $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \, (0 \le x < \frac{\pi}{2})$ の $x = \frac{\pi}{3}$ における微分係数

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、指定された点における微分係数を求めます。

(1) $f(x) = 2x^3 - x^2 - x + 5$ の $x = -1$ における微分係数

(2) $f(x) = (x^2 - 5x + 3)(x^3 - 4x^2 + 2)$ の $x = 1$ における微分係数

(3) $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \, (0 \le x < \frac{\pi}{2})$ の $x = \frac{\pi}{3}$ における微分係数

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$を微分して$f'(x)$を求めます。

$f(x) = 2x^3 - x^2 - x + 5$

$f'(x) = 6x^2 - 2x - 1$

次に、$f'(-1)$を計算します。

$f'(-1) = 6(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 6 + 2 - 1 = 7$

(2)

まず、$f(x)$を微分して$f'(x)$を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$f(x) = (x^2 - 5x + 3)(x^3 - 4x^2 + 2)$

$u(x) = x^2 - 5x + 3$ と $v(x) = x^3 - 4x^2 + 2$ とおくと、

$u'(x) = 2x - 5$

$v'(x) = 3x^2 - 8x$

$f'(x) = (2x - 5)(x^3 - 4x^2 + 2) + (x^2 - 5x + 3)(3x^2 - 8x)$

次に、$f'(1)$を計算します。

$f'(1) = (2(1) - 5)(1^3 - 4(1)^2 + 2) + (1^2 - 5(1) + 3)(3(1)^2 - 8(1))$

$f'(1) = (-3)(1 - 4 + 2) + (1 - 5 + 3)(3 - 8)$

$f'(1) = (-3)(-1) + (-1)(-5) = 3 + 5 = 8$

(3)

$f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ なので、

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

$f'(\frac{\pi}{3})$を計算します。

$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\cos^2 (\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 8

(3) 4