微分$ \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) $を微分の定義に従って求める問題です。

1. 問題の内容

微分$\frac{d}{dx}(\sqrt{x})$を微分の定義に従って求める問題です。

2. 解き方の手順

微分の定義は以下の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に$f(x) = \sqrt{x}$を代入します。

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

この式を計算するために、分子を有理化します。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

分子を計算すると、

$(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}) = (x+h) - x = h$

よって、

$\lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$