関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問題に答えます。 (1) 不等式 $f(x) < 0$ を解きます。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問題に答えます。

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解きます。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

まず、$f(x) = x(e^x - 4e^{-x}) < 0$ を解きます。

$e^x - 4e^{-x} = e^{-x}(e^{2x} - 4)$ なので、$f(x) = x e^{-x} (e^{2x} - 4) < 0$ となります。

$e^{-x} > 0$ なので、$x(e^{2x} - 4) < 0$ を解けばよいです。

$e^{2x} - 4 = 0$ となる $x$ は、$e^{2x} = 4$ より $2x = \log 4 = 2 \log 2$ なので、$x = \log 2$ です。

したがって、$x < 0$ のとき、$e^{2x} < 1 < 4$ より $e^{2x} - 4 < 0$ なので、$x(e^{2x} - 4) > 0$ となります。

$0 < x < \log 2$ のとき、$e^{2x} < 4$ より $e^{2x} - 4 < 0$ なので、$x(e^{2x} - 4) < 0$ となります。

$x > \log 2$ のとき、$e^{2x} > 4$ より $e^{2x} - 4 > 0$ なので、$x(e^{2x} - 4) > 0$ となります。

よって、$f(x) < 0$ となるのは、$0 < x < \log 2$ のときです。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

$f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ と $x$ 軸との交点を求めます。$f(x) = 0$ より、$x = 0$ または $e^x - 4e^{-x} = 0$ となります。

$e^x - 4e^{-x} = 0$ より、$e^{2x} = 4$ なので、$x = \log 2$ です。

よって、$x$ 軸との交点は、$x = 0$ と $x = \log 2$ です。

$0 < x < \log 2$ のとき、$f(x) < 0$ なので、求める面積 $S$ は、

$S = \int_0^{\log 2} |f(x)| dx = - \int_0^{\log 2} x(e^x - 4e^{-x}) dx = \int_0^{\log 2} x(4e^{-x} - e^x) dx$

部分積分を用いて、$\int x e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x}$、$\int x e^x dx = xe^x - e^x$ なので、

$S = \int_0^{\log 2} (4xe^{-x} - xe^x) dx = [4(-xe^{-x} - e^{-x}) - (xe^x - e^x)]_0^{\log 2}$

$= [-4xe^{-x} - 4e^{-x} - xe^x + e^x]_0^{\log 2}$

$= [-4 \log 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} - \log 2 \cdot 2 + 2] - [0 - 4 - 0 + 1] = [-2 \log 2 - 2 - 2 \log 2 + 2] - [-3] = -4 \log 2 + 3$

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < \log 2$

(2) $3 - 4 \log 2$