$a$ を正の実数とする。2つの曲線 $C_1: y = ax^3$ ($x \ge 0$) と $C_2: y = x\log x$ ($x \ge 1$) が点Pを共有し、Pにおけるそれぞれの接線が一致している。 (1) 点Pの座標と $a$ の値を求めよ。 (2) 曲線 $C_1$ と $C_2$ はP以外に共有点をもたないことを示せ。 (3) 曲線 $C_1, C_2$、および $x$ 軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とする。2つの曲線 $C_1: y = ax^3$ ($x \ge 0$) と $C_2: y = x\log x$ ($x \ge 1$) が点Pを共有し、Pにおけるそれぞれの接線が一致している。

(1) 点Pの座標と $a$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $C_1$ と $C_2$ はP以外に共有点をもたないことを示せ。

(3) 曲線 $C_1, C_2$、および $x$ 軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を $(t, at^3)$ とおく。ただし、$t \ge 1$ である。

$C_1$ の導関数は $y' = 3ax^2$ なので、点Pにおける接線の傾きは $3at^2$ である。

$C_2$ の導関数は $y' = \log x + 1$ なので、点Pにおける接線の傾きは $\log t + 1$ である。

点Pにおける接線が一致するので、以下の2式が成り立つ。

$at^3 = t\log t$

$3at^2 = \log t + 1$

最初の式から、$a = \frac{\log t}{t^2}$ となる。

これを2番目の式に代入すると、

$3 \cdot \frac{\log t}{t^2} \cdot t^2 = \log t + 1$

$3\log t = \log t + 1$

$2\log t = 1$

$\log t = \frac{1}{2}$

$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

$a = \frac{\log t}{t^2} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e}$

したがって、点Pの座標は $( \sqrt{e}, \sqrt{e}/(2e) ) = (\sqrt{e}, \frac{1}{2\sqrt{e}})$ であり、$a = \frac{1}{2e}$ である。

(2) $C_1$と$C_2$の式をイコールで結ぶと、$ax^3=x \log x$となり、$x>0$の範囲で議論できる。

$a=\frac{1}{2e}$を代入すると、$\frac{1}{2e}x^3=x \log x$より、$x(\frac{1}{2e}x^2-\log x)=0$

$x=0$は$x \ge 1$の条件を満たさない。

$\frac{1}{2e}x^2-\log x=0$つまり$\frac{1}{2e}x^2=\log x$

$f(x)=\frac{1}{2e}x^2, g(x)=\log x$とおく。

$f'(x)=\frac{1}{e}x, g'(x)=\frac{1}{x}$

$f''(x)=\frac{1}{e}>0, g''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$

$f(x)$は下に凸、$g(x)$は上に凸である。

$f(\sqrt{e})=g(\sqrt{e})$より、$\sqrt{e}$以外に交点を持たない。

したがって、$C_1$ と $C_2$ はP以外に共有点をもたない。

(3) 求める面積Sは、

$S = \int_1^{\sqrt{e}} x\log x \, dx - \int_0^{\sqrt{e}} \frac{1}{2e}x^3 \, dx$

$\int x\log x \, dx = \frac{1}{2}x^2\log x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2}x^2\log x - \frac{1}{4}x^2$

$\int_1^{\sqrt{e}} x\log x \, dx = (\frac{1}{2}e \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4}e) - (0 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{8}e + \frac{1}{4}$

$\int_0^{\sqrt{e}} \frac{1}{2e}x^3 \, dx = \frac{1}{2e} [\frac{1}{4}x^4]_0^{\sqrt{e}} = \frac{1}{2e} \cdot \frac{1}{4}e^2 = \frac{1}{8}e$

$S = (\frac{1}{8}e + \frac{1}{4}) - \frac{1}{8}e = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) P$(\sqrt{e}, \frac{1}{2\sqrt{e}})$, $a = \frac{1}{2e}$

(2) 省略

(3) $S = \frac{1}{4}$