関数 $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ について、以下の2つの問題を解きます。 (a) $f(x, y)$ の勾配（grad）を求めます。 (b) 点 $(a, b) \neq (0, 0)$ において、方向微分 $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となる方向 $l$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ について、以下の2つの問題を解きます。

(a) $f(x, y)$ の勾配（grad）を求めます。

(b) 点 $(a, b) \neq (0, 0)$ において、方向微分 $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となる方向 $l$ を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 勾配を求める手順：

勾配は偏微分のベクトルとして定義されます。すなわち、

$\text{grad } f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

まず、$x$ について偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{x^2 + y^2} \right) = -\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}$

次に、$y$ について偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{x^2 + y^2} \right) = -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2}$

したがって、勾配は次のようになります。

$\text{grad } f(x, y) = \left( -\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} \right)$

(b) 方向 $l$ を求める手順：

方向 $l$ を単位ベクトル $l = (\cos \theta, \sin \theta)$ で表します。

方向微分は勾配と方向ベクトルの内積で与えられます。

$\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = \text{grad } f(a, b) \cdot l = \left( -\frac{2a}{(a^2 + b^2)^2}, -\frac{2b}{(a^2 + b^2)^2} \right) \cdot (\cos \theta, \sin \theta)$

$\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = -\frac{2a}{(a^2 + b^2)^2} \cos \theta - \frac{2b}{(a^2 + b^2)^2} \sin \theta$

$\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となるためには、

$-\frac{2a}{(a^2 + b^2)^2} \cos \theta - \frac{2b}{(a^2 + b^2)^2} \sin \theta = 0$

$2(a^2+b^2)^2$ はゼロではないので、

$-2a \cos \theta - 2b \sin \theta = 0$

$a \cos \theta + b \sin \theta = 0$

$b \sin \theta = -a \cos \theta$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{a}{b}$

$\theta = \arctan \left( -\frac{a}{b} \right)$

したがって、$l = \left( \cos \left( \arctan \left( -\frac{a}{b} \right) \right), \sin \left( \arctan \left( -\frac{a}{b} \right) \right) \right)$

3. 最終的な答え

(a) $\text{grad } f(x, y) = \left( -\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} \right)$

(b) $l = \left( \cos \left( \arctan \left( -\frac{a}{b} \right) \right), \sin \left( \arctan \left( -\frac{a}{b} \right) \right) \right)$　または $\tan \theta = -a/b$ を満たす方向