$\alpha$ が第2象限の角で、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos \alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$ が第2象限の角で、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos \alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \alpha$ の計算

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ の関係を利用する。

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$ である。

よって、$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\sin 2\alpha$ の計算

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ を利用する。

$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(3) $\cos 2\alpha$ の計算

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ を利用する。

$\cos 2\alpha = \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$

(4) $\tan 2\alpha$ の計算

$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$ を利用する。

$\tan 2\alpha = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}} = -4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(3) $\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$

(4) $\tan 2\alpha = -4\sqrt{5}$