$f(x,y)$ は全平面で2回偏微分可能であり、すべての偏導関数は連続である。また、$z = f(x,y)$, $x = u + v$, $y = uv$とする。 (1) $z_u$と$z_v$を求めよ。 (2) $uz_u + vz_v = xf_x + 2yf_y$を示せ。

1. 問題の内容

$f(x,y)$ は全平面で2回偏微分可能であり、すべての偏導関数は連続である。また、$z = f(x,y)$, $x = u + v$, $y = uv$とする。

(1) $z_u$と$z_v$を求めよ。

(2) $uz_u + vz_v = xf_x + 2yf_y$を示せ。

2. 解き方の手順

(1) $z_u$と$z_v$を求める。

まず、$z = f(x,y)$であり、$x = u+v$, $y = uv$である。

$z_u$は、$z$を$u$で偏微分したものであり、連鎖律を使って計算できる。

$z_u = \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = f_x \frac{\partial (u+v)}{\partial u} + f_y \frac{\partial (uv)}{\partial u} = f_x(1) + f_y(v) = f_x + vf_y$

同様に、$z_v$は、$z$を$v$で偏微分したものであり、連鎖律を使って計算できる。

$z_v = \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = f_x \frac{\partial (u+v)}{\partial v} + f_y \frac{\partial (uv)}{\partial v} = f_x(1) + f_y(u) = f_x + uf_y$

(2) $uz_u + vz_v = xf_x + 2yf_y$ を示す。

$uz_u + vz_v = u(f_x + vf_y) + v(f_x + uf_y) = uf_x + uvf_y + vf_x + uvf_y = (u+v)f_x + 2uvf_y = xf_x + 2yf_y$

したがって、$uz_u + vz_v = xf_x + 2yf_y$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $z_u = f_x + vf_y$

$z_v = f_x + uf_y$

(2) $uz_u + vz_v = xf_x + 2yf_y$