与えられた2つの式をそれぞれ簡単化または評価することが求められています。 (3) $\log\{1 + \log(1 + \log x)\}$ (4) $\tan^{-1}(1 + \tan x)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式をそれぞれ簡単化または評価することが求められています。

(3) $\log\{1 + \log(1 + \log x)\}$

(4) $\tan^{-1}(1 + \tan x)$

2. 解き方の手順

(3) について：この式は、$\log$ が多重に適用されているため、これ以上簡単化することは一般にはできません。式の定義域について考えることはできます。$\log$ の引数は常に正である必要があるため、$x>0$, $1 + \log x > 0$, $1 + \log(1 + \log x) > 0$ を満たす必要があります。

$1 + \log x > 0$ より $\log x > -1$ なので $x > e^{-1} = 1/e$

$1 + \log(1 + \log x) > 0$ より $\log(1 + \log x) > -1$ なので $1 + \log x > e^{-1}$ となり、$\log x > e^{-1} - 1$ なので $x > e^{e^{-1} - 1}$

(4) について：$\tan^{-1}(1 + \tan x)$ を評価します。$\tan^{-1}$ は逆正接関数です。

加法定理 $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ を使って変形を試みますが、直接的に簡単化できる形にはなりません。

$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ であることを利用して、$\tan^{-1}$ の引数を変形してみることを考えます。

$\tan^{-1}(1 + \tan x)$ は、これ以上簡単化することは難しいです。

3. 最終的な答え

(3) $\log\{1 + \log(1 + \log x)\}$ (これ以上簡単化できません)

定義域：$x > e^{e^{-1} - 1}$

(4) $\tan^{-1}(1 + \tan x)$ (これ以上簡単化できません)