関数 $y = x^2 + 3x + 4$ のグラフに原点Oから引いた2本の接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 3x + 4$ のグラフに原点Oから引いた2本の接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接点を $(t, t^2 + 3t + 4)$ と置きます。

(2) $y = x^2 + 3x + 4$ を微分して、$y' = 2x + 3$ を得ます。

(3) $x = t$ における接線の傾きは $2t + 3$ です。

(4) 接線の方程式は、$y - (t^2 + 3t + 4) = (2t + 3)(x - t)$ となります。

(5) 接線が原点(0, 0)を通るので、上の式に $x = 0$, $y = 0$ を代入します。

$0 - (t^2 + 3t + 4) = (2t + 3)(0 - t)$

$-t^2 - 3t - 4 = -2t^2 - 3t$

$t^2 - 4 = 0$

$(t - 2)(t + 2) = 0$

$t = 2, -2$

(6) $t = 2$ のとき、接点は $(2, 2^2 + 3(2) + 4) = (2, 4 + 6 + 4) = (2, 14)$

接線の傾きは $2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$

接線の方程式は、$y - 14 = 7(x - 2)$

$y = 7x - 14 + 14$

$y = 7x$

(7) $t = -2$ のとき、接点は $(-2, (-2)^2 + 3(-2) + 4) = (-2, 4 - 6 + 4) = (-2, 2)$

接線の傾きは $2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1$

接線の方程式は、$y - 2 = -1(x - (-2))$

$y = -x - 2 + 2$

$y = -x$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は

$y = 7x$

$y = -x$

です。