与えられた積分 $\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を分母で割ります。

$\frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} = x + 2 + \frac{-1}{x^2 + 3}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (x + 2 - \frac{1}{x^2 + 3}) dx$

各項を個別に積分します。

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

$\int 2 dx = 2x + C_2$

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \int \frac{1}{x^2 + (\sqrt{3})^2} dx$

これは $\frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a})$ の形なので、$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C_3$ となります。

したがって、

$\int (x + 2 - \frac{1}{x^2 + 3}) dx = \frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 - C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$