与えられた積分 $\int \frac{x^3+2x^2+3x+1}{x^2+3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^3+2x^2+3x+1}{x^2+3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を多項式と真分数に分解します。分子の多項式を分母の多項式で割ることを考えます。

$x^3+2x^2+3x+1$ を $x^2+3$ で割ると、商は $x+2$、余りは $-1$ となります。したがって、

$$x^3+2x^2+3x+1 = (x^2+3)(x+2) - 1$$

よって、

$$\frac{x^3+2x^2+3x+1}{x^2+3} = x+2 - \frac{1}{x^2+3}$$

したがって、求める積分は

$$\int \frac{x^3+2x^2+3x+1}{x^2+3} dx = \int \left(x+2 - \frac{1}{x^2+3}\right) dx = \int x dx + \int 2 dx - \int \frac{1}{x^2+3} dx$$

それぞれの積分を計算します。

$$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$$

$$\int 2 dx = 2x + C_2$$

$$\int \frac{1}{x^2+3} dx = \int \frac{1}{x^2+(\sqrt{3})^2} dx$$

$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) + C$ を用いると、

$$\int \frac{1}{x^2+3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C_3$$

したがって、

$$\int \frac{x^3+2x^2+3x+1}{x^2+3} dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$$