与えられた3つの関数 $f(x)$ について、指定された $x$ の値における微分係数 $f'(x)$ を求めます。 (1) $f(x) = 2x^3 - x^2 - x + 5$ について、$x = -1$ における微分係数。 (2) $f(x) = (x^2 - 5x + 3)(x^3 - 4x^2 + 2)$ について、$x = 1$ における微分係数。 (3) $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$ について、$x = \frac{\pi}{3}$ における微分係数。

はい、承知いたしました。問題文に沿って、微分係数を求めていきます。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $f(x)$ について、指定された $x$ の値における微分係数 $f'(x)$ を求めます。

(1) $f(x) = 2x^3 - x^2 - x + 5$ について、$x = -1$ における微分係数。

(2) $f(x) = (x^2 - 5x + 3)(x^3 - 4x^2 + 2)$ について、$x = 1$ における微分係数。

(3) $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$ について、$x = \frac{\pi}{3}$ における微分係数。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x^3 - x^2 - x + 5$ の場合

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - x^2 - x + 5) = 6x^2 - 2x - 1$

次に、$x = -1$ を代入して、$f'(-1)$ を計算します。

$f'(-1) = 6(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 6 + 2 - 1 = 7$

(2) $f(x) = (x^2 - 5x + 3)(x^3 - 4x^2 + 2)$ の場合

積の微分公式を用いて導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = (2x - 5)(x^3 - 4x^2 + 2) + (x^2 - 5x + 3)(3x^2 - 8x)$

次に、$x = 1$ を代入して、$f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = (2(1) - 5)(1^3 - 4(1)^2 + 2) + (1^2 - 5(1) + 3)(3(1)^2 - 8(1))$

$f'(1) = (-3)(1 - 4 + 2) + (1 - 5 + 3)(3 - 8) = (-3)(-1) + (-1)(-5) = 3 + 5 = 8$

(3) $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$ の場合

$f(x) = \tan x$ であることに気づくと、微分が容易になります。

商の微分公式を用いて導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

$f'(x) = \sec^2 x$ とも表せます。

次に、$x = \frac{\pi}{3}$ を代入して、$f'(\frac{\pi}{3})$ を計算します。

$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\cos^2 (\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $f'(-1) = 7$

(2) $f'(1) = 8$

(3) $f'(\frac{\pi}{3}) = 4$